Binômio de Newton

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Resolvido Binômio de Newton

Mensagem por Andre Ampère em Seg 23 Jul 2018, 14:22

Qual o valor do termo independente de x no desenvolvimento de (x+\frac{1}{x})^{6}.(x-\frac{1}{x})^{6}


Resposta:
-20
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Resolvido Re: Binômio de Newton

Mensagem por Carlos Adir em Seg 23 Jul 2018, 14:46

Você pode fazer como:

\\ V = \left(x+\dfrac{1}{x} \right )^6 \cdot \left(x-\dfrac{1}{x} \right )^6 = \left[\left(x+\dfrac{1}{x} \right )\left(x-\dfrac{1}{x} \right )\right ]^6
\\ V = \left[x^2 - \dfrac{1}{x^2} \right ]^6 = \left[\dfrac{x^4-1}{x^2} \right ]^6 = \dfrac{1}{x^{12}} \left(x^4-1 \right )^6


Agora, para encontrar o termo que não depende de x, basta que encontremos o termo que depende apenas de x^12 na expressão

\left(x^4-1 \right )^6

E disso, temos que na verdade será o antepenultimo termo:

  \left(x^4-1 \right )^6 = \binom{6}{0}(x^4)^6 (-1)^0 +  \binom{6}{1}(x^4)^5 (-1)^1 + \cdots +  \binom{6}{6}(x^4)^0 (-1)^6 

\binom{6}{3} = \dfrac{6!}{3!\cdot (6-3)!}  = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2} = 20

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Resolvido Re: Binômio de Newton

Mensagem por Andre Ampère em Seg 23 Jul 2018, 15:05

Isso que você fez na primeira linha que eu não tive a sacada hahaha de juntar tudo, mas depois dá pra fazer mais rápido:
(x^{2}-x^{-2})^{6} \Rightarrow -\binom{6}{p}(x^{2})^{6-p}(x^{-2p}) \Rightarrow -\binom{6}{p}x^{12-4p}  o expoente de x se anula quando p = 3 
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Resolvido Re: Binômio de Newton

Mensagem por Carlos Adir em Seg 30 Jul 2018, 14:21

Muito boa a resolução também!

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