Equação da energia cinetica

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Equação da energia cinetica

Mensagem por Nath Neves em Sab 16 Jun 2018, 11:01

Uma partícula com massa m = 2 kg desloca-se sobre uma calha parabólica vertical com equação y = x2 , onde x é medida na horizontal e y na vertical (ambas em metros). Assim sendo, o movimento da partícula tem apenas um grau de liberdade, que pode ser escolhido como a coordenada x.
a) Escreva a equação da energia cinética em função de x.
b) Escreva a equação  da  energia  potencial  gravítica  em  função  de x (use  o  valor g =  9.8 m/s2).
c) Admitindo que sobre a partícula não atua nenhuma força não conservativa, use a equação de Lagrange para encontrar a sua equação de movimento.

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Re: Equação da energia cinetica

Mensagem por diogompaiva em Sex 02 Nov 2018, 19:46

Dados a massa m = 2kg e a posição y=x², temos:

\mathbf{(A)}\\\\v^2=v_{x}^2+v_{y}^2\,\,\,\therefore\,\,\,v_{x}=\dot{x}\,,\,v_{y}=\frac{dy}{dt}=2x\dot{x}\\\\K=\frac{mv^2}{2}=v^2=\dot{x}^2+4x^2\dot{x}^2\rightarrow \boxed{K=\dot{x}^2(1+4x^2)}


\mathbf{(B)}\\\\U=mgh=mgy\rightarrow \boxed{U=19,6x^2}

\mathbf{(C)}\\\\Lagrangeana\,\,L=K-U\,\therefore\, L=\dot{x}^2(1+4x^2)-19,6x^2\\\\Equacao\,de\,movimento\,\,\,\,\,\,\frac{d}{dt}\left ( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right )-\frac{\partial L}{\partial x}=0

\frac{d}{dt}\left ( 2\dot{x}(1+4x^2) \right )-\dot{x}^2(8x)+39,2x=0\\\\2\ddot{x}(1+4x^2)+2\dot{x}(8x\dot{x})-8x\dot{x}^2+39,2x=0\\\\2\ddot{x}+8x^2\ddot{x}+16x\dot{x}^2-8x\dot{x}^2+39,2x=0\\\\\boxed{(2+8x^2)\ddot{x}+8x\dot{x}^2+39,2x=0}








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