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Mensagem por killua05 Dom 19 Jun 2011, 17:58

(UFPE) se x, y e z são inteiros positivos e satisfazem xyz+xy+xz+yz+x+y+z=384, quanto vale xyz?

A)200
B)220
C)230
D)240
E)250
Spoiler:

olá, não consegui resolver o exercício, consegui achar o suposto valor de x=2 depois não consegui mais continuar.

será que o lance é na fatoração?
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Mensagem por JOEL BORGES Dom 19 Jun 2011, 19:29

killua05 escreveu:(UFPE) se x, y e z são inteiros positivos e satisfazem xyz+xy+xz+yz+x+y+z=384, quanto vale xyz?

A)200
B)220
C)230
D)240
E)250
Spoiler:

olá, não consegui resolver o exercício, consegui achar o suposto valor de x=2 depois não consegui mais continuar.

será que o lance é na fatoração?

Boa noite killua05!

Não entendi muito bem esse exercício.
Parece que a resposta postada é 240.
Pelo que vi, substituindo X=2, y=4 e z=0 na expressão dada, não encontramos 384.
Além disso x, y, z são inteiros positivos, o que exclui z=0
Encontrei x=2, y=5 e z=8 (que substituindo na expressão dada chegamos em 384).
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Mensagem por killua05 Dom 19 Jun 2011, 19:37

JOEL BORGES escreveu:Boa noite killua05!

Não entendi muito bem esse exercício.
Parece que a resposta postada é 240.
Pelo que vi, substituindo X=2, y=4 e z=0 na expressão dada, não encontramos 384.
Além disso x, y, z são inteiros positivos, o que exclui z=0
Encontrei x=2, y=5 e z=8 (que substituindo na expressão dada chegamos em 384).
eu coloquei a resposta no spoiler.

como vc chegou no x=2, y=5 e z=8?? 2*5*8=80 essa nem é a resposta
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Mensagem por JOEL BORGES Dom 19 Jun 2011, 20:01

killua05 escreveu:
JOEL BORGES escreveu:Boa noite killua05!

Não entendi muito bem esse exercício.
Parece que a resposta postada é 240.
Pelo que vi, substituindo X=2, y=4 e z=0 na expressão dada, não encontramos 384.
Além disso x, y, z são inteiros positivos, o que exclui z=0
Encontrei x=2, y=5 e z=8 (que substituindo na expressão dada chegamos em 384).
eu coloquei a resposta no spoiler.

como vc chegou no x=2, y=5 e z=8?? 2*5*8=80 essa nem é a resposta

Realmente; eu percebi, pela sua postagem, que o resultado era a opção D.

Eu fiz assim...
xyz = 100x + 10y + z
xy = 10x + y
xz = 10x + z
Fiz isso com todos os termos da expressão.
Fazendo as devidas somas chegamos em 121x + 22y + 4z = 384
De imediato percebi que 0 < x < 4 pois x, y, z inteiros positivos
Se x = 1 não encontramos valores para y e z que satisfaçam a 22y + 4z = 263
Se x = 3 não encontramos valores para y e z que satisfaçam a 22y + 4z = 21
Daí, chegamos que x = 2
Logo, 22y + 4z = 142 ===> 11y + 2z = 71
O maior valor que 2z pode assumir é 2*9 = 18
Logo, o menor valor que 11y pode assumir é 71 - 18 = 53
O menor valor que 2z pode assumir é 2*1 = 2
Logo, o maio valor que 11y pode assumir é 71 - 2 = 69
Daí, y=5 ou y=6
Se y = 6 ===> z=2,5 (falso)
Daí, y=5 e z=8.
Encontrei x=2, y=5, z=8 (substituindo esses valores na expressão dada, encontramos 384)
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Mensagem por killua05 Dom 19 Jun 2011, 20:23

digamos que concordo com sua resolução, agora porque xyz não da 240??
o valor que encontro com os possiveis valores de x;y;z para xyz=258 e não 240.

será que o exercício tem erro ou essa não é a forma correta de resolver?
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Mensagem por JOEL BORGES Dom 19 Jun 2011, 20:42

killua05 escreveu:digamos que concordo com sua resolução, agora porque xyz não da 240??
o valor que encontro com os possiveis valores de x;y;z para xyz=258 e não 240.

será que o exercício tem erro ou essa não é a forma correta de resolver?

Vamos aguardar outras postagens, talvez tirem nossas dúvidas, valeu?!
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Mensagem por luiseduardo Dom 19 Jun 2011, 22:56

Olá pessoal,
Acho que o Joel se confundiu, pois ele resolveu como se fossem dígitos. Na verdade, o certo seria se o enunciado estivesse escrito assim: x*y*z+x*y+x*z+y*z+x+y+z=384
Encontre x*y*z.


Fiz da mesma forma do Joel inicialmente e se fosse daquela forma ele não teria errado nada. Sendo que a questão é mais fatoração.

Minha resolução:


x*y*z+x*y+x*z+y*z+x+y+z=384

i) Fator comum x:

x(yz + y + z + 1) + (yz + y + z) = 384

ii) Soma 1 nos dois lados

x(yz + y + z + 1) + (yz + y + z + 1) = 385

iii) Fator comum:

(yz + y + z + 1)(x + 1) = 385

iv) Fator comum y:

(y(z + 1) + (z + 1))(x + 1) = 385
((z + 1)(y + 1))(x + 1) = 385

v) Agora, basta fatorar:


(z + 1)(y + 1)(x + 1) = 5.7.11

Logo,

z + 1 = 5
z = 4


y + 1 = 7
y = 6

x + 1 = 11
x = 10


Então, x*y*z = 240

Resposta: D
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Mensagem por killua05 Seg 20 Jun 2011, 13:28

luiseduardo, muito obrigado

desde do começo tava tentando fatorar ela.

já parei aqui: x(yz + y + z + 1) + (yz + y + z) = 384

depois percebi (yz + y + z + 1)(x + 1) = 385 daqui para frente não consegui mais.

vlw.

luiseduardo, vc sabe se tem algum livro bom de matemática que tem exercícios de fatoração, desde do fácil até o mais dificil?
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Mensagem por Elcioschin Seg 20 Jun 2011, 17:40

Vejam como é importante o sinal de multiplicação *
A falta do sinal induz a erro de interpretação, como neste exercício.
Assim, é importante que fique claro, nos enunciados, se são números na forma decimal ou se são números multiplicados entre sí.
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Mensagem por abelardo Seg 20 Jun 2011, 18:32

Conheço alguns livros bons. ''Praticando a aritmética'' de José Admo Lacerda e ''Álgebra I'' do Morgado. Existe também o fundamentos da aritmética do Abramo Hefez... não tenho o do Abramo, mas falam muito bem dele. Procura em alguns sites como ''rumoaoita'' e ''sistema de ensino interativo'' que existem ótimas apostilas com exercícios de alto nível.
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