Parametrização vs teorema de Green ??

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Parametrização vs teorema de Green ??

Mensagem por AlfredoGuimaraes em Qua 09 Maio 2018, 19:21

Pessoal, eu tava precisando integrar esse campo vetorial: f(x) = x^4 i + xy j , em um triângulo fechado (0,0) --> (0,1) --> (1,0) --> (0,0)

Eu faço a integral de linha do produto escalar f(x).dl ao longo do caminho inteiro e encontro um valor de 17/30 , mas calculando pelo teorema de green, encontro um valor de 1/6.

Por que os valores são diferentes ? Eu estou falhando na definição do teorema ? Ao meu ver a integral de linha em torno de um caminho fechado simples no plano deveria dar a mesma coisa que aplicando o teorema =///

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Re: Parametrização vs teorema de Green ??

Mensagem por Giovana Martins em Sab 13 Out 2018, 21:46

Os sinais negativos em cada membro do Teorema de Green é devido nós estarmos percorrendo a trajetória no sentido horário.

\\\mathrm{Teorema\ de\ Green:\ }-\underset{\gamma}{\oint }\vec{F}.d\vec{r}=-\underset{\partial D}{\int \int }\left ( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right )dxdy\\\\\frac{\partial Q}{\partial x}=y\ \wedge\ \frac{\partial P}{\partial y}=0\ \therefore \ \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=y\\\\-\underset{\partial D}{\int \int }\left ( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right )dxdy=-\int_{0}^{1}\left [ \int_{0}^{-x+1}ydy \right ]dx=\boxed {\frac{1}{6}}\\\\

Segunda forma de resolver o problema:

\\-\underset{\gamma}{\oint }\vec{F}.d\vec{r}=-\left (\underset{\gamma _1}{\int }\vec{F}.d\vec{r}+\underset{\gamma _2}{\int }\vec{F}.d\vec{r}+\underset{\gamma _3}{\int }\vec{F}.d\vec{r}  \right )\\\\\gamma_1:\ y=0,0\leq x\leq 1,dy=0\\\\\underset{\gamma _1}{\int }\vec{F}.d\vec{r}=\underset{\gamma _1}{\int }x^4dx+xydy=\int_{1}^{0}x^4dx=-\frac{1}{5}\\\\\gamma_2:\ x=0,0\leq y\leq 1,dx=0\\\\\underset{\gamma _2}{\int }\vec{F}.d\vec{r}=\underset{\gamma _2}{\int }x^4dx+xydy=0\\\\\gamma_3:\ y=-x+1,0\leq x\leq 1,dy=-dx\\\\\underset{\gamma _3}{\int }\vec{F}.d\vec{r}=\underset{\gamma _3}{\int }x^4dx+x(-x+1)(-dx)=\frac{1}{30}\\\\\therefore -\underset{\gamma}{\oint }\vec{F}.d\vec{r}=-\left (-\frac{1}{5}+0+\frac{1}{30}  \right )=\boxed {\frac{1}{6}}

Penso que seja assim.

Nota: eu optei por não parametrizar as curvas, porque já se trata de curvas simples.

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