Uso do Wolfram-Alpha na resolução de juros.

O USO DO WOLFRAM-ALPHA NA RESOLUÇÃO DE JUROS

O Wolfram é um aplicativo on-line grátis, limitado, que pode ser bastante útil na resolução de problemas de juros, principalmente no que diz respeito a séries (uniformes, variáveis, postecipadas, antecipadas, diferidas), sejam elas sob o regime de juros compostos ou simples, numérica ou literalmente.

É sabido que as anuidades são séries finitas de pagamentos. Para esta finalidade, isto é, realizar a soma de séries finitas, o Wolfram, dentro de sua limitação grátis, tem um comando muito interessante, simples e de fácil uso, plenamente funcional, que é:

sum expressão, variável, valor_inicial, valor_final

onde:

sum = comando que calcula o somatório de uma expressão.
expressão = expressão matemática de cada um dos termos a serem somados numa série.
variável = variável contida na expressão, cujo valor irá variar termo a termo na série.
valor_inicial = valor inicial da variável (contido no primeiro termo da série).
valor_final = valor final da variável (contido no último termo da série).

Sabe-se que o valor presente de uma série uniforme postecipada sob o regime de juros compostos, é dada por:

PV = PMT\cdot\left[\frac{1}{(1+i)^1}+\frac{1}{(1+i)^2}+\frac{1}{(1+i)^3}+\frac{1}{(1+i)^4}+...+\frac{1}{(1+i)^n}\right]

Como o Wolfram interpreta o "i" como sendo raiz quadrada de -1 (um número complexo), o que resultaria num resultado adverso, para evitar este contratempo, a variável "i" aqui será substituída por "r". Então:

PV = PMT\cdot\left[\frac{1}{(1+r)^1}+\frac{1}{(1+r)^2}+\frac{1}{(1+r)^3}+\frac{1}{(1+r)^4}+...+\frac{1}{(1+r)^n}\right]

Para os termos entre colchetes tem-se a seguinte identidade:

\frac{1}{(1+r)^1}+\frac{1}{(1+r)^2}+\frac{1}{(1+r)^3}+\frac{1}{(1+r)^4}+...+\frac{1}{(1+r)^n} = \sum_{k=1}^{n}\;\frac{1}{(1+r)^k}

Portanto a "expressão" a ser usada é:

\frac{1}{(1+r)^k}

variável = k
valor_inicial = 1
valor_final = n

Levando estes dados ao comando "sum", separados por vírgulas, tem-se:

sum 1/(1+r)^k, k, 1, n

Digitando o comando e seus parâmetros (como mostrado na linha anterior) na janela do Wolfram, e clicando "enter", este exibirá:

\boxed{\sum_{k=1}^{n}\;\frac{1}{(1+r)^k} = \frac{1-(1+r)^{-n}}{r}}

que pode ser visto aqui: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F(1%2Br)%5Ek,+k,+1,+n

Este resultado é o já conhecido "fator de atualização de capital" encontrado na também conhecida equação geral do valor presente:

PV = PMT \cdot \frac{1-(1+r)^{-n}}{r}

Note que foi determinada a solução literal. Mas, querendo, pode também ser calculado valor numérico.

Se, por exemplo, r=2,5% a.m.=0,025 a.m. e n=36 meses, o comando a ser digitado no Wolfram, com a substituição destes valores, seria:

sum 1/(1+0.025)^k, k, 1, 36

Clicando "enter" o Wolfram exibirá:

\boxed{\sum_{k=1}^{36}\;\frac{1}{(1+0.025)^k} = 23,5562510679 ...}

que pode ser visto aqui: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F(1%2B0.025)%5Ek,+k,+1,+36

A rigor, no exemplo acima mostrado, nem seria necessário o uso do Wolfram, pois, ao se observar a série:

\left[\frac{1}{(1+r)^1}+\frac{1}{(1+r)^2}+\frac{1}{(1+r)^3}+\frac{1}{(1+r)^4}+...+\frac{1}{(1+r)^n}\right]

verifica-se que a mesma constitui a soma dos termos de uma progressão geométrica de razão (1+r) que, pelas propriedades da PG, dá como resultado:

\frac{1}{(1+r)^1}+\frac{1}{(1+r)^2}+\frac{1}{(1+r)^3}+\frac{1}{(1+r)^4}+...+\frac{1}{(1+r)^n} = \frac{1-(1+r)^{-n}}{r}

Por outro lado, se ao invés de juros compostos, a questão estivesse sendo tratada sob o regime de juros simples, por analogia, a série uniforme postecipada do valor presente seria:

PV = PMT\cdot\left[\frac{1}{(1+1r)}+\frac{1}{(1+2r)}+\frac{1}{(1+3r)}+\frac{1}{(1+4r)}+...+\frac{1}{(1+ni)}\right]

Note-se que os termos entre colchetes desta última equação não estão em PG nem em PA, sendo que, por este motivo, não é possível substituí-los por uma expressão algébrica "simples", de fácil manuseio. A resolução, então, por conseguinte, terá que sair da equação tal como ela aqui se apresenta. Para pequenos valores de "n", digamos até 4 ou 5, dá para resolver manualmente. Porém para valores maiores é mais conveniente usar o Wolfram-Alpha.

Para os termos que estão entre colchetes tem-se a seguinte identidade:

\frac{1}{(1+1r)}+\frac{1}{(1+2r)}+\frac{1}{(1+3r)}+\frac{1}{(1+4r)}+...+\frac{1}{(1+nr)} = \sum_{k=1}^{n}\;\frac{1}{(1+kr)}

Portanto, neste caso, a "expressão é:

\frac{1}{(1+kr)}

No Wolfram, estes dados no comando "sum" teria a seguinte configuração:

sum 1/(1+kr), k, 1, n

Utilizando o mesmo exemplo numérico, isto é, r=2,5% a.m.=0.025 a.m. e n=36 meses, o comando "sum", com a substituição destes valores, seria:

sum 1/(1+k*0.025), k, 1, 36

Entrando com estes dados na janela do Wolfram e clicando "enter", este exibirá o seguinte resultado:

\boxed{\sum_{k=1}^{36}\;\frac{1}{(1+k*0.025)} = 25,438819454140538...}

que pode ser visto aqui: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F(1%2Bk*0.025),+k,+1,+36

O presente texto teve por objetivo mostrar, através de exemplos, a utilização do comando "SUM" do Wolfram-Alpha na resolução de séries financeiras de juros.

LC - 13/fev/2018.