Valor Presente - SÉRIE DIFERIDA POSTECIPADA

Encontre a equação matemática que corresponda à expressão que atualiza para o valor presente (PV), ou data atual (data zero), uma anuidade que se quitará em uma série  de depósitos, prestações ou pagamentos uniformes de valor (PMT), postecipados, a serem realizadas ao longo de (n) períodos iguais e consecutivos de tempo, remunerados a uma dada taxa fixa de juros (i), após decorrido um prazo de carência de (k) períodos iguais e consecutivos de tempo.

Como a população-alvo do fórum é a do ensino médio, a dedução deverá ser clara, explícita, pormenorizada, sem atalhos, sem subentendimentos e sem subjetivismos.

Luiz 2017 escreveu:

Encontre a equação matemática que corresponda à expressão que atualiza para o valor presente (PV), ou data atual (data zero), uma anuidade que se quitará em uma série  de depósitos, prestações ou pagamentos uniformes de valor (PMT), postecipados, a serem realizadas ao longo de (n) períodos iguais e consecutivos de tempo, remunerados a uma dada taxa fixa de juros (i), após decorrido um prazo de carência de (k) períodos iguais e consecutivos de tempo.

Como a população-alvo do fórum é a do ensino médio, a dedução deverá ser clara, explícita, pormenorizada, sem atalhos, sem subentendimentos e sem subjetivismos.

DEMONSTRAÇÃO DAS EQUAÇÕES DO VALOR PRESENTE DE SÉRIES DIFERIDAS

O presente texto tratará da demonstração da expressão que atualiza para o valor presente (data inicial) uma série financeira de termos constantes, num prazo de iguais períodos de tempo, sob determinada taxa de juro, tomando como referência não só o modelo postecipado como também o antecipado.

Cabe ressaltar que, para as variáveis, aqui será adotada a notação encontrada na maioria das calculadoras financeiras.

É oportuno frisar que a se começar do "zero", o texto ficaria demasiadamente longo. Portanto, como o objetivo é o ensino médio, será considerado que conceitos básicos são tidos como já de conhecimento dessa população-alvo.


1- Definições:

Os dicionários indicam como significado de diferimento: "adiamento; ação de diferir, de transferir para uma outra data ou momento. Demora; ação de prolongar, de demorar". Em uma série de pagamentos ou recebimentos o diferimento é considerado como o período de carência, isto é, o prazo que separa o início da operação e o período de pagamento da primeira prestação.

Na determinação do valor presente (VP), uma série de pagamentos ou recebimentos, ou depósitos ou saques, de valor constante (PMT), a ser realizada num prazo (n) de iguais períodos de tempo, sob determinada taxa de juro composto (i), é dita diferida de "c" períodos de tempo quando o vencimento de sua primeira parcela ocorre após "c" períodos de tempo a partir da época atual ou da data de assinatura do contrato.

O diferimento consiste, portanto, no prazo concedido, antes que se inicie a capitalização dos pagamentos, no qual não existirão pagamentos, havendo, no entanto, neste período, a incidência da taxa de juros. Contudo, essa relativa vantagem ao tomador do empréstimo será compensada com o acréscimo no valor das prestações.

Há que se ressaltar ainda que quando o primeiro pagamento ocorre no início do primeiro período após o término da carência, a série é dita diferida antecipada. Quando ocorre no fim, diz-se que a série é diferida postecipada.


2- Diferimento postecipado:

Considere-se uma série financeira uniforme diferida postecipada, cujo fluxo é mostrado na representação gráfica a seguir, a qual mostra na primeira linha do tempo, o período de carência "c" a ser considerado:



Então, pelo exposto no diagrama, o valor presente de uma série diferida postecipada  pode ser calculado em duas etapas:

1ª) Descapitaliza-se a série em questão de "n" períodos para o valor presente intermediário PV' que passará a ser um valor futuro único em relação à data de início do prazo de carência, através da seguinte equação já demonstrada aqui https://pir2.forumeiros.com/t144477-fator-de-valor-atual-serie-constante :

PV' = PMT \cdot \Big[(1+i)^{-1} + (1+i)^{-2} + (1+i)^{-3} + ... + (1+i)^{-n}\Big]

Da qual se deduz:

PV' = PMT\cdot\left[\frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}\right]                                             (1)

2ª) Descapitaliza-se essse valor futuro único para o valor presente PV na data atual, através dos "c" períodos de tempo, com a seguinte equação também já demonstrada no mesmo link anterior:

PV = \frac{PV'}{(1+i)^{c}}                                                                     (2)

Substituindo a eq. (1) na eq. (2) tem-se:

PV = \frac{PV'}{(1+i)^{c}} = \frac{PMT\cdot\left[\frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}\right]}{(1+i)^{c}}

Ou seja:

PV = PMT\cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i\cdot(1+i)^{c}}                                                (3)

A eq. (3) é, portanto, a expressão matemática a ser utilizada para determinação do valor presente de uma série de pagamentos ou recebimentos postecipados de valor constante, realizada num prazo de iguais períodos de tempo, sob o regime de juros compostos, diferida de "c" períodos de tempo.


3- Diferimento antecipado:

Por outro lado, se a mesma série diferida, ao invés de postecipada, tiver seus termos antecipados, observando-se o diagrama acima, equivale a dizer que toda a série de "n" termos será deslocada de 1 (um) período para a esquerda.

Então, tal como no procedimento anterior, para determinação do valor presente, inicialmente a série, agora antecipada, é descapitalizada para o seu o valor presente intermediário único PV', através da seguinte equação também já demonstrada no link citado:

PV' = PMT\cdot \Big[(1+i)^0 + (1+i)^{-1} + (1+i)^{-2}+...+ (1+i)^{-n+1}\Big]

Da qual se deduz:

PV' = PMT\cdot\left[\frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}\right](1+i)                                     (4)

De igual maneira, em seguida descapitaliza-se este valor único para o valor presente PV, com a mesma eq. (2), através dos mesmos "c" períodos de tempo, ou seja:

PV = \frac{PV'}{(1+i)^{c}}                                                                     (5)

Substituindo a eq. (4) na eq. (5), obtem-se:

PV = \frac{PMT\cdot\left[\frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}\right](1+i)}{(1+i)^c}

ou seja:

PV = PMT\cdot\frac{1 - (1+i)^{-n}}{i\cdot(1+i)^{c-1}}                                                    (6)

A eq. (6) é, portanto, a expressão matemática a ser utilizada para determinação do valor presente de uma série de pagamentos ou recebimentos antecipados de valor constante, realizada num prazo de iguais períodos de tempo, sob o regime de juros compostos, diferida de "c" períodos de tempo.


4- Conclusão:

Comparando as eqs. (3) e (6) pode-se fazer:

\boxed{ PV = PMT\cdot\frac{1 - (1+i)^{-n}}{i\cdot(1+i)^k} }

Esta última expressão é a equação geral ser utilizada para determinação do valor presente de uma série diferida de pagamentos ou recebimentos de valor constante, realizada num prazo de iguais períodos de tempo, sob o regime de juros compostos, em que:

- se postecipada: k = c
- se antecipada: k = c-1
- onde c é o período de carência.

c.q.d.



LC - 20/02/2018.

Demonstração da eq. (1):

Observando a equação:

PV' = PMT\cdot\Big[(1+i)^{-1} + (1+i)^{-2} + (1+i)^{-3} + ... + (1+i)^{-n}\Big]

vê-se que os termos entre colchetes estão em progressão geomátrica, cuja soma é dada por:

S_n = a_1\cdot\frac{(q^n-1)}{q-1}

onde:

q = (1+i)^-1 = razão
a₁ = (1+i)^-1 = primeiro termo
n = número de termos

Substituindo valores:

S_n = (1+i)^{-1}\cdot\frac{((1+i)^{-n}-1)}{(1+i)^{-1}-1}

S_n = \frac{(1+i)^{-n-1}-(1+i)^{-1}}{(1+i)^{-1}-1}=\frac{(1+i)^{-n}-1}{-i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}

Logo:

PV' = PMT\cdot\left[\frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}\right]





Demonstração da eq. (4):

Observando a equação:

PV' = PMT\cdot \Big[(1+i)^0 + (1+i)^{-1} + (1+i)^{-2}+...+ (1+i)^{-n+1}\Big]

vê-se que termos entre colchetes estão em progressão geométrica cuja soma é dada por:

S_n = a_1\cdot\frac{(q^n-1)}{q-1}

onde:

q = (1+i)^-1 = razão
a₁ = 1 = primeiro termo
n = número de termos

Substituindo valores:

S_n = 1\cdot\frac{((1+i)^{-n}-1)}{(1+i)^{-1}-1}

S_n = \frac{(1+i)^{-n+1}-(1+i)}{-i} = \left[\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\right](1+i)

Logo:

PV' = PMT\cdot\left[\frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}\right](1+i)


c.q.d.