Série de PA em gradiente

Olá.

Sem a utilização de quaisquer fórmulas  referentes às séries em gradientes, calcule o montante de 9 aplicações mensais, feitas 
à taxa de 2,5% a.m., realizadas no final de cada período, sabendo-se que a primeira é de $ 8.000,00 e as demais de valores 
crescentes, à razão de $ 1.000,00.

R.: $ 117.816,96


Um abraço.

Jota-r, boa tarde!

Isso é só pra maltratar?

Calculando conforme solicitou:
\\M = 8\,000 \cdot \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 8 } + 9\,000 \cdot \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 7 } + 10\,000 \cdot \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 6 } + 11\,000 \cdot ~\left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 5 } + 12\,000 \cdot \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 4 } + 13\,000 \cdot \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 3 } + 14\,000 \cdot \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 2 } + 15\,000 \cdot~\left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 1 } + 16\,000\\\\M = 8\,000 \cdot 1,025 ^ 8 + 9\,000 \cdot 1,025 ^ 7 + 10\,000 \cdot 1,025 ^ 6 + 11\,000 \cdot 1,025 ^ 5 + 12\,000 \cdot~1,025 ^ 4 + 13\,000 \cdot 1,025 ^ 3 + 14\,000 \cdot 1,025 ^ 2 + 15\,000 \cdot 1,025 ^ 1 + 16\,000\\\\M \approx 9\,747,22 + 10\,698,17 + 11\,596,93 + 12\,445,49 + 13\,245,75 + 13\,999,58 +~14\,708,75 +~15\,375,00 +~16\,000,00\\\\\boxed{M \approx 117\,816,90}

Para não perder o (mal) hábito de sempre usar fórmulas:
\\FV = PMT \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }{ i } \right] + \dfrac{ G }{ i } \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }{ i } - n \right]\\\\FV = 8\,000 \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 9 } - 1 }{ 2,5\% } \right] + \dfrac{ 1\,000 }{ 2,5\% } \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 9 } - 1 }{ 2,5\% } - 9 \right]\\\\FV = 8\,000 \cdot \left( \dfrac{ 1,025 ^ { 9 } - 1 }{ 0,025 } \right) + \dfrac{ 1\,000 }{ 0,025 } \cdot \left( \dfrac{ 1,025 ^ { 9 } - 1 }{ 0,025 } - 9 \right)\\\\FV \approx 79\,636,15 + 38\,180,75\\\\\boxed{ FV \approx 117\,816,90 }

Espero ter ajudado!

baltuilhe escreveu:Jota-r, boa tarde!

Isso é só pra maltratar?

Calculando conforme solicitou:
\\M = 8\,000 \cdot \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 8 } + 9\,000 \cdot \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 7 } + 10\,000 \cdot \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 6 } + 11\,000 \cdot ~\left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 5 } + 12\,000 \cdot \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 4 } + 13\,000 \cdot \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 3 } + 14\,000 \cdot \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 2 } + 15\,000 \cdot~\left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 1 } + 16\,000\\\\M = 8\,000 \cdot 1,025 ^ 8 + 9\,000 \cdot 1,025 ^ 7 + 10\,000 \cdot 1,025 ^ 6 + 11\,000 \cdot 1,025 ^ 5 + 12\,000 \cdot~1,025 ^ 4 + 13\,000 \cdot 1,025 ^ 3 + 14\,000 \cdot 1,025 ^ 2 + 15\,000 \cdot 1,025 ^ 1 + 16\,000\\\\M \approx 9\,747,22 + 10\,698,17 + 11\,596,93 + 12\,445,49 + 13\,245,75 + 13\,999,58 +~14\,708,75 +~15\,375,00 +~16\,000,00\\\\\boxed{M \approx 117\,816,90}

Para não perder o (mal) hábito de sempre usar fórmulas:
\\FV = PMT \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }{ i } \right] + \dfrac{ G }{ i } \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }{ i } - n \right]\\\\FV = 8\,000 \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 9 } - 1 }{ 2,5\% } \right] + \dfrac{ 1\,000 }{ 2,5\% } \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 9 } - 1 }{ 2,5\% } - 9 \right]\\\\FV = 8\,000 \cdot \left( \dfrac{ 1,025 ^ { 9 } - 1 }{ 0,025 } \right) + \dfrac{ 1\,000 }{ 0,025 } \cdot \left( \dfrac{ 1,025 ^ { 9 } - 1 }{ 0,025 } - 9 \right)\\\\FV \approx 79\,636,15 + 38\,180,75\\\\\boxed{ FV \approx 117\,816,90 }

Espero ter ajudado!

Baltuilhe, boa tarde.

Não é para maltratar, não. Desta feita o amigo ficou devendo, pois a primeira solução é de principiante, o que não é o seu caso. A segunda não vale, pois você usou fórmula de PA em gradiente. Ha uma outra solução, pelo que vejo inusitada. Vou aguardar até o 
final da tarde, dando um tempo para o Luiz responder. Se até lá não houver novidade, apresentarei a resolução de que falo.

Um abraço.

jota-r, sem aplicação de fórmulas "prontas" para séries em gradiente, o que posso te dizer é que o presente exercício pode ser desmembrado em 9 séries uniformes, e resolvidas na "munheca" conforme segue.

Para séries uniformes tem-se:

FV = PMT\left[\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\right]                    (1)

Se aplicada a eq. (1) separadamente a cada uma das 9 aplicações do exercício e somando os resultados, obtém-se:

\small{FV = 8000\left[\frac{(1,025)^{9}-1}{0,025}\right]+1000\left[\frac{(1,025)^{8}-1}{0,025}\right]+1000\left[\frac{(1,025)^{7}-1}{0,025}\right]+ ... +1000\left[\frac{(1,025)^1-1}{0,025}\right]}

\small{FV = \frac{8000}{0,025}\cdot\Big[1,025^9-1\Big] + \frac{1000}{0,025}\cdot\Big[1,025^8-1+1,025^7-1+ ... +1,025^2-1+1,025^1-1\Big]}

FV = \frac{8000}{0,025}\cdot\Big[1,248863-1\Big] + \frac{1000}{0,025}\cdot\Big[8,954519 - 8\Big]

FV = 79636,16 + 38180,76

\boxed{FV = \$\;117.816,92}

Boa tarde!

A outra solução seria:
\\FV = 8\,000 \cdot s_{ \overline{ 9 } | 2,5\% } + 1\,000 \cdot s_{ \overline{ 8 } | 2,5\% } + 1\,000 \cdot s_{ \overline{ 7 } | 2,5\% } + 1\,000 \cdot s_{ \overline{ 6 } | 2,5\% } + 1\,000 \cdot s_{ \overline{ 5 } | 2,5\% } + 1\,000 \cdot s_{ \overline{ 4 } | 2,5\% } + 1\,000 \cdot s_{ \overline{ 3 } | 2,5\% } + 1\,000 \cdot s_{ \overline{ 2 } | 2,5\% } + 1\,000

Onde:
s_{ \overline{ n } | i } = \frac{ ( 1 + i ) ^ { n } - 1 }{ i }

Daí só substituir os valores:
\\FV \approx 8\,000 \cdot 9,954519 + 1\,000 \cdot 8,736116 + 1\,000 \cdot 7,547430 + 1\,000 \cdot 6,387737 + 1\,000 \cdot 5,256329 + 1\,000 \cdot 4,152516 + 1\,000 \cdot 3,075625 + 1\,000 \cdot 2,025 + 1\,000

\boxed{ FV \approx 117\,816,90}

Abraços!

Luiz,

Fostes mais rápido do que eu... estou no serviço... faz hora que estou escrevendo.. mas só consegui mandar agora

Abraços!

A ideia foi a mesma... só escrevemos diferente

jota-r escreveu:Olá.

Sem a utilização de quaisquer fórmulas  referentes às séries em gradientes, calcule o montante de 9 aplicações mensais, feitas 
à taxa de 2,5% a.m., realizadas no final de cada período, sabendo-se que a primeira é de $ 8.000,00 e as demais de valores 
crescentes, à razão de $ 1.000,00.

R.: $ 117.816,96


Um abraço.

Olá.

Dados:

n = 9 meses; i = 2,5% a.m.; G = $ 1.000,00; FV1 = ?

Como, em muitos casos, as séries em gradiente podem ser decompostas em duas outras, sendo uma de termos constantes e a outra de termos em gradiente, o primeiro passo para resolver o problema é identificar essas duas séries e resolvê-las, conforme segue:

Série de termos uniformes e postecipados:

PMT = 8000 - G = 8000 - 1000 = 7000; n = 9 meses; i = 2,5% a.m.; FV1 = ?

FV1 = PMT*FAC (2,5%, 9)---->fórmula

Apropriando os dados na fórmula e resolvendo, vem:

FV1 = 7000*[(1,025^9-1)/0,025]
---->
FV1 = 7000*9,95452
---->
FV1 = 69681,64

Série em gradiente de termos postecipados:

n = 9 meses; G = 1000; p = 8000- PMT = 8000-70000 = 1000, i = 2,5%; FV2 = ?

A fórmula para solução desta série em gradiente todos nós conhecemos. Mas, como a premissa é não utilizar fórmula para cálculo desse tipo de série, precisamos encontrar uma série de termos uniformes e postecipados que seja  equivalente à fórmula em
gradiente em questão, utilizando seguinte fórmula alternativa:

FV2 = G/i*[FAC (2,5%, 9) - n] + p* FAC (2,5%, 9)

Apropriando os dados na fórmula e resolvendo, temos:

FV2 = 1000/0,025*[(1,025^9-1)/0,025 - 9]  - 1000* 9,95452
---->
FV2 = 40000*0,95452  + 9954,52
---->
FV2 = 38180,80 + 9954,52
---->
FV2 = 48135,32

O montante solicitado é a soma dos dois montantes parciais acima, qual seja:

FVt = FV1 + FV2
---->
FVt =  69681,64 +48135,32
---->
FVt = 117.816,96


Um abraço.

Meu caro Jota-r...

Pra mim, a solução continua usando a fórmula para Gradiente, estou equivocado?

Abraços!

baltuilhe escreveu:Meu caro Jota-r...

Pra mim, a solução continua usando a fórmula para Gradiente, estou equivocado?

Abraços!

Baltuilhe. Acho que estás equivocado. Pois a fórmula foi criada justamente para substituir o gradiente por série uniforme!


Um abraço.

jota-r, a resolução da série gradiente a partir de séries uniformes está aqui https://pir2.forumeiros.com/t144565-serie-de-pa-em-gradiente#509063

Sds.