Pé de meia para aposentadoria

Para que uma pessoa receba uma 'aposentadoria' igual ao seu salário de R$ 5.645,80 (atual teto do INSS) por 25 anos - dos 53 aos 78 anos de idade, por exemplo -, precisaria contribuir com uma alíquota sobre seu salário dos 18 aos 53 anos. Qual o valor dessa alíquota imaginando que o valor da contribuição será remunerado a 6% a.a. com capitalização mensal?

Resposta:

Baltuilhe, este problema já é bastante conhecido. Muitos livros o enunciam com números diferentes, mas é o mesmo problema. Aqui no fórum mesmo já nos debruçamos sobre ele umas duas vezes.

Com os dados do problema, dá para calcular o valor mensal atual a ser poupado, dos 18 aos 53 anos, para que, ao final desse prazo, se forme o montante que será o capital da futura aposentadoria. Veja bem: estou falando do valor da contribuição mensal, não da alíquota. A alíquota é um percentual. Para calcular a alíquota precisaria conhecer o salário atual da pessoa para determinar qual o percentual que a contribuição representa sobre o mesmo. Creio que seu enunciado está faltando algum dado. A menos que o salário da pessoa seja o próprio teto do INSS de R$ 5.645,80. Confira aí e diga.

Num cálculo preliminar encontrei que a contribuição atual seria $ 615,05 que dá um percentual (alíquota) de 10,893%. Aguardo sua resposta para apresentar os cálculos. Inclusive, sobre os quais, há uma discussão.

Luiz, boa noite!

Não sabia que já tinha sido postado... mas também fui ingênuo em não procurar!
Concordo que realmente não foi informado o salário dele ser igual ao teto do INSS, mas que era o caso. Irei editar o enunciado de forma a deixar claro isso.
E realmente não faria diferença ganhar 1.000 ou 10.000 para calcular a alíquota, sendo que o desejo seria permanecer com o mesmo salário da 'época de contribuição', por assim dizer. Portanto, deixo aqui minha sugestão de solução.

Como sabemos o valor que iremos 'sacar' mensalmente ao término dos árduos anos de depósitos mensais, podemos calcular o valor que precisamos ter depositado para realizar os saques.
Dados:
PMT = 5.645,80
n = 25 anos = 25 x 12 = 300 meses
i = 6% a.a. com capitalização mensal = 6% / 12 = 0,5% a.m.
PV = ?

Vou deixar aqui a expressão que nos entregará o PV, sem fazer as contas:
Fórmula:
PV = PMT \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n }  }{ i } \right]

Substituindo os dados:
PV = 5\,645,80 \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + 0,5\% \right) ^ { -300 }  }{ 0,5\% } \right]

Bom, agora conhecemos o PV, certo? Depositando-se, mês após mês, um valor fixo obteremos este montante. O cálculo deixo abaixo.
FV = PV (anteriomente calculado)
n = 53-18 = 35 anos = 35 x 12 = 420 meses
PMT = é o valor do depósito que desejamos saber
Fórmula:
FV = PMT \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }{ i } \right]

Substituindo os dados:
5\,645,80 \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + 0,5\% \right) ^ { -300 }  }{ 0,5\% } \right] = PMT \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + 0,5\% \right) ^ { 420 } - 1 }{ 0,5\% } \right]

Irei 'calcular' o valor do PMT em função de 5.645,80, já que o exercício pede uma 'alíquota' em função deste valor.
PMT = 5\,645,80 \cdot \dfrac{ 1 - \left( 1 + 0,5\% \right) ^ { -300 }  }{ \left( 1 + 0,5\% \right) ^ { 420 } - 1 }

Calculando, agora:
PMT \approx 5\,645,80 \cdot \dfrac{ \overbrace{ 1 - \left( 1 + 0,5\% \right) ^ { -300 } } ^ { 0,776034 }  }{ \underbrace{ \left( 1 + 0,5\% \right) ^ { 420 } - 1 } _ { 7,123551 } }
PMT \approx 5\,645,80 \cdot 0,108939
\boxed{ PMT \approx 5\,645,80 \cdot 10,8939\% }

Espero ter deixado alguma contribuição!

Abraços!

baltuilhe escreveu:Para que uma pessoa receba uma 'aposentadoria' igual ao seu salário de R$ 5.645,80 (atual teto do INSS) por 25 anos - dos 53 aos 78 anos de idade, por exemplo -, precisaria contribuir com uma alíquota sobre seu salário dos 18 aos 53 anos. Qual o valor dessa alíquota imaginando que o valor da contribuição será remunerado a 6% a.a. com capitalização mensal?

Dados do problema:


1) Fase de aposentadoria:

PMT₁ = 5.645,80
n₁ = 25 anos = 300 meses
i = 6% a.a. = 0,5% a.m.
PV₁ = ? (capital da futura aposentadoria)


2) fase de contribuição:

PMT₂ = ? (contribuição mensal atual necessária para formar o montante que será o capital da futura aposentadoria)
n₂ = 35 anos = 420 meses
i = 6% a.a = 0,5% a.m.
FV₂ = PV₁


3) Salário da pessoa:

Sal = 5.645,80


Solução:


I - Fase de Aposentadoria:

Valor presente de série uniforme postecipada

PV_1 = PMT_1 \cdot \frac {1-(1+i)^{-n_1}}{i}

Substituindo valores:

PV_1 = 5645,80 \cdot \frac {1-(1+0,005)^{-300}}{0,005}

PV_1 = 5645,80 \times 155,206864

PV_1 = 876.266,9128

(este é o capital necessário para gerar o rendimento mensal da futura aposentadoria por 25 anos)


II - Fase de Contribuição:

Valor futuro de série uniforme postecipada

FV_2 = PMT_2 \cdot \frac {(1+i)^{n_2} - 1}{i}

Substituindo valores:

876266,9128 = PMT_2 \cdot \frac {(1+0,005)^{420} - 1}{0,005}

876266,9128 = PMT_2 \times 1424,7102299

PMT_2 = 615,0491882

\boxed{ PMT_2 \approx 615,05 }

(esta é a contribuição mensal a ser poupada dos 18 aos 53 anos, para que, ao final deste prazo, forme o montante que será o capital da futura aposentadoria)


III - Alíquota:

\text{Al\'{i}quota} = \frac{PMT_2} {Sal}

\text{Al\'{i}quota} = \frac{615,0491882} {5645,80}

\text{Al\'{i}quota} = 0,108939245

Resposta:

\boxed{\bf{\text{Al\'{i}quota} \approx 10,89\% }}

Discussão sobre este tema:

Penso que este problema pode requerer outro enfoque.

Resumo do problema: trata-se de determinar o valor mensal a ser poupado durante 35 anos para que, ao fim deste prazo, o montante resultante, novamente aplicado, constitua o capital que possa garantir uma aposentadoria que irá permitir uma retirada de $ 5.645,80 mensais por por 25 anos.

Pela lógica do enunciado do problema, infere‐se que tal aposentadoria de 5.5645,80 mensais, refere‐se a valores a níveis correntes, ou seja, a preços de hoje, embora esteja sendo constituída para ser usufruída daqui a 35 anos, portanto, desconsidera completamente a perda do poder aquisitivo de tal aposentadoria. No entanto, nesse sentido, não há o que se questionar, nominalmente, sobre o valor encontrado nos cálculos de $ 615,05 mensais para o período de poupança.

Porém, na realidade, efetivamente, não podemos ignorar que um salário de $ 5.645,80 mensais hoje, sob a mesma taxa de 0,5% a.m., corresponderá, daqui a 35 anos, a:

FV = Sal\times(1+i)^n = 5.645,80\times(1+0,005)^{420} \approx \$\;45.863,95

Caso contrário, não visando a manutenção do poder aquisitivo, qual seja, ignorando este pormenor, uma aposentadoria de $ 5.645,80 mensais daqui a 35 anos, corresponderia a níveis de hoje, com a mesma taxa, a míseros:

PV = FV\times(1+i)^{-n} = 5.645,80\times(1+0,005)^{-420} \approx \$\;694,99 mensais.

importância esta que obviamente é um valor definitivamente irreal para uma aposentadoria programada (além disso é mais de 8 vezes inferior ao salário atual da pessoa).

Penso, então, que para dar um mínimo de realidade à esta questão (*), seria necessário primeiro transportar o valor mensal almejado para a aposentadoria, isto é, os $ 5.645,80, para daqui a 35 anos (que daria $ 45.863,95 mensais, conforme mostrado acima) e aí, sim, dar continuidade ao cálculo.


Ou seja, a solução vem de três etapas:


1ª) Dar algum realismo ao valor da aposentadoria (transportando-a para o futuro de 35 anos).

FV = PV\cdot(1+i)^n = 5.645,80\cdot(1+0,005)^{420}\approx \$\;45.863,95 mensais.


2ª) Determinar o capital suficiente que garanta a futura aposentadoria por 25 anos:

PV=PMT\cdot\frac{1-(1+i)^n}{i}=45863,95\cdot\frac {1-(1+0,005)^{-300}}{0,005}\approx \$\;7.118.399,85

(note que $ 876.266,91 do cálculo do problema original não são suficientes)


3ª) Com base na 2ª etapa, estabelecer o valor mensal da contribuição para a fase da poupança:

PMT=PV\cdot\frac{i}{(1+i)^{n}-1}=7118399,85\cdot\frac{0,005}{(1+0,005)^{420}-1}

\boxed{ PMT \approx \$\;4.996,38}

e não $ 615,05.


Nota:

Neste caso a alíquota seria 4.996,38/5.645,80 = 88,50%

e não 10,89%.


(*) a rigor este processo para ser mais exato precisaria de cálculo atuarial.

Baltuilhe, não vi seu comentário sobre o assunto.

Continuo sem ver.

Luiz,

Esse é um problema complexo, realmente, mas ainda não tive um tempo para conseguir refletir bem sobre o assunto.
Suas considerações são bastante interessantes, mas continuo sem 'pé' ainda para conseguir realizar alguma discussão sobre.

Num futuro, quem sabe!

sds!