contagem - 1

Um número formado pelo produto desses números será divisor do produto de todos eles.

Pegue:

2^(6) . 3^(8 ) . 5^(2)

Para contar quantos divisores tem um número, basta somarmos 1 unidade aos valores dos expoentes e multiplicar.

Porque somar 1 ? Para considerar o expoente 0.

(6 + 1)(8 + 1)(2 + 1) = 7 . 9 . 3 = 189 divisores

Logo existem 189 números distintos.

Para cada grupo de números 2, 3, 5, 6, 8 ou 9, tem-se que ver quantos irão entrar na multiplicação.

Por exemplo, o produto 2.3.3.8. Nele entrou um 2, dois 3, nenhum 5, nenhum 6, um 8 e nenhum 9.

Já, o produto 3.9, entrou na conta, nenhum 2, um 3, nenhum 5, nenhum 6, nenhum 8 e um 9.

Assim, temos para o número 2, ou entra nenhum ou um ou dois 2, ou seja, 3 possibilidades.

Para o número 3, ou ou entra nenhum ou um ou dois ou três 3, ou seja, 4 possibilidades.

Para o número 5, ou ou entra nenhum ou um ou dois 5, ou seja, 3 possibilidades.

Para o número 6, ou ou entra nenhum ou um 6, ou seja, 2 possibilidades.

Para o número 8, ou ou entra nenhum ou um 8, ou seja, 2 possibilidades.

Para o número 9, ou ou entra nenhum ou um ou dois 9, ou seja, 3 possibilidades.

Logo, o total de maneiras possíveis são 3.4.3.2.2.3 = 432.

Desse número temos que tirar 1 possibilidade, que é de não entrar nenhum número no produto. 

Logo são 431 números.

Tem razão Evandro. Do jeito que eu fiz eu estaria desconsiderando a presença do 6 e do 8 por exemplo.

Então o certo seria pegar o produto nesse formato:

2² . 3³ . 5² . 6 . 8 . 9²

Para que o 9, 8 e 6 apareçam.

Some uma unidade aos valores dos expoentes e multiplique

(2 + 1)(3 + 1)(2 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 3 . 4 . 3 . 2 . 2 . 3

= 432

Como o colega Evandro disse, precisamos subtrair 1 para tirar o caso em que temos todos os expoentes iguais a 0, nesse caso iríamos obter o valor 1 (que não está presente nas opções de números)

superaks escreveu:Tem razão Evandro. Do jeito que eu fiz eu estaria desconsiderando a presença do 6 e do 8 por exemplo.

Então o certo seria pegar o produto nesse formato:

2² . 3³ . 5² . 6 . 8 . 9²

Para que o 9, 8 e 6 apareçam.

Some uma unidade aos valores dos expoentes e multiplique

(2 + 1)(3 + 1)(2 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 3 . 4 . 3 . 2 . 2 . 3

= 432.

Isso mesmo. 

Só faltou você tirar o divisor 1. Já que ele não é produto de nenhum deles. Logo 431.

Grato pela correção !

Bom dia

Muito obrigada. A princípio não havia entendido o porquê tirar um, mas depois, entendi. Valeu!!!!