Polinômios

Um polinômio f dividido por x+2 e x² + 4  dá restos 0 e x + 1, respectivamente. Qual é o resto da divisão de f por (x + 2)(x² + 4)

Resolução (1)

Como o enunciado não diz o grau de f, eu posso supor que ele tem grau 2, veja.

Temos que

f(x) = (x + 2) . q(x)

f(x) = (x² + 4) . q'(x) + x + 1

Note que q'(x) tem que ser diferente de 0, pois caso contrário, f(x) seria x + 1, porém, x + 1 não é divisível por x + 2.

Faça x = - 2.

f(-2) = ((-2)² + 4) . q'(-2) - 2 + 1 = 0

f(-2) = 8 . q'(-2) - 1 = 0

q'(-2) = 1/8

Suponha que q'(x) seja uma constante, ou seja, q'(x) = 1/8.

Logo:

f(x) = 1/8 . (x² + 4) + x + 1 = (x² + 8x + 12)/8

Então o resto da divisão de f(x) por (x² + 4)(x + 2), é o próprio f(x).

Essa resolução foi achando um possível f(x), e nessa situação conseguimos um resultado mais rápido.

Resolução (2)

De forma geral, faça:

f(x) = (x + 2)(x² + 4) . q"(x) + r(x)

Como x + 2 divide f(x), então ele divide r(x).

Como f(x) deixa resto x + 1 na divisão por x² + 4, então r(x) deixa resto x + 1 na divisão por x² + 4.

O resto tem que ter grau menor que o divisor, como sabemos que ele tem o fator x + 2, então ele tem que ter grau 2.

r(x) = (x + 2)(ax + c) = ax² + (2a + c)x + 2c

Temos que

x² + 4 | r(x) - (x + 1) = ax² + (a + 2c - 1)x + 2c - 1

Na divisão de r(x) - x - 1, por x² + 4, o quociente tem que ser o coeficiente líder de r(x) - x - 1, pois é uma divisão entre dois polinômios de mesmo grau, logomarca

ax² + 4a Ξ ax² + (a + 2c - 1)x + 2c - 1

2a + c - 1 = 0 (i)

4a = 2c - 1 (ii)

Resolvendo o sistema obtemos a = 1/8 e c = 3/4

Então

r(x) = x²/8 + x + 3/2

r(x) = 1/8 . (x² + 8x + 12)

superaks escreveu:Como o enunciado não diz o grau de f, eu posso supor que ele tem grau 2, veja.

Temos que

f(x) = (x + 2) . q(x)

f(x) = (x² + 4) . q'(x) + x + 1

Note que q'(x) tem que ser diferente de 0, pois caso contrário, f(x) seria x + 1, porém, x + 1 não é divisível por x + 2.

Faça x = - 2.

f(-2) = ((-2)² + 4) . q'(-2) - 2 + 1 = 0

f(-2) = 8 . q'(-2) - 1 = 0

q'(-2) = 1/8

Suponha que q'(x) seja uma constante, ou seja, q'(x) = 1/8.

Logo:

f(x) = 1/8 . (x² + 4) + x + 1 = (x² + 8x + 12)/8

Então o resto da divisão de f(x) por (x² + 4)(x + 2), é o próprio f(x) considerando que f(x) tenha grau 2.

Porém, suponha agora que ele tem um grau maior do que 2.

Logo:

f(x) = (x² + 4)(x + 2) . q"(x) + r(x)

Sabemos que x + 2 divide f(x), logo, divide r(x). f(x) deixa resto x + 1 na divisão por x² + 4, ou seja, r(x) deixa resto x + 1 na divisão por x² + 4.

Como o resto tem que ter um grau menor que o divisor e sabemos que x + 2 o divide, então r(x) tem que ter grau 2.

r(x) = (x + 2)(ax + c) = ax² + (c + 2a)x + 2c

x² + 4 | r(x) - (x + 1) = ax² + (c + 2a - 1)x + 2c - 1

Como eles tem o mesmo grau, o quociente é uma constante, nesse caso tem que ser o coeficiente líder.

ax² + 4a = ax² + (c + 2a - 1)x + 2c - 1

c + 2a - 1 = 0

- 2c - 4a + 2 = 0 (i)

4a = 2c - 1 (ii)

(i) + (ii)

- 2c + 2 = 2c - 1

4c = 3

c = 4/3 → a = 5/12

Então:

r(x) = 5x²/12 + (4/3 + 5/6)x + 8/3

r(x) = 5x²/12 + 13x/6 + 8/3

r(x) = 1/12 . (5x² +  26x + 32)

Então tem essas 2 soluções

Eu não sei o enunciado dessa questão, mas acho que f não pode ser de grau 2. Senão nao dava a dividir ele por (x +2)(x^2 + 4) não iria ter quociente.

Retifiquei minha resposta. Tinha uma parte que eu não deveria ter considerado, pois se serve para um quociente constante valeria para um quociente qualquer (dentro das restrições).

Se f(x) tem grau 2, o quociente seria 0 e o resto seria o próprio f(x)