Polinômios

Se x³  + px + q é divisivel por x² + ax +b e x² + rx + s. demostre que  b = -r(a + r)

Fazendo a divisão temos:

  x³  + px + q  | x² + ax +b 
-x³ -a²x-bx         x - a
      -a²x + (p - b)x + q
     +a²x + a²x + ab
                 (p - b +a²)x + (ab + q)

Como ele afirma que é divisível, logo p - b +a² = 0 e ab + q = 0, ou seja, p = b - a² e q = -ab

Dividindo da mesma forma, x³  + px + q por x² + rx + s, encontra-se p = s - r² = 0 e q = -rs.

Portanto, b - a² = s - r²  e  ab = rs.

Isolamos s, s = b - a² + r² e substituímos na outra equação. Logo,

ab = r.(b - a² + r²)  ----->   ab - rb = r³ - a²r  ------> b.(a - r) = (r² - a²).r ----->  b.(a - r) = (r - a)(r + a).r ------>

-----> b.(a - r) = -(a - r).(r + a).r  --------> b = -(r + a).r