Calcular Montante (Matemática Financeira)

Uma concessionária está ofertando um automóvel de R$ 55.000,00 no seguinte plano de financiamento:

• entrada de 45%
  
• prestações mensais de R$ 672,90
  
• taxa de 1%a.m.
  

Por não dispor do valor da entrada um consumidor pensa em economizar, pelo prazo que levaria para financiar o automóvel, o mesmo valor da prestação mensal em um fundo que rende 1% a.m., mesma taxa que seria cobrada no financiamento.
Pergunta-se: qual o valor do montante obtido no final do prazo?

Pra quem desejar:
DESAFIO: Calcular este valor SEM obter a quantidade de prestações

Resposta:

Boa tarde!

Para resolver esse problema como propus precisamos de uma fórmula, que irei demonstrar, para depois utilizá-la.

1) Fator de valor atual de uma série de pagamentos iguais:
a_{ \overline{ n } | i } = \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }{ \left( 1 + i \right) ^ { n } \cdot i } = \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n } }{ i }

2) Fator de recuperação de capital para uma série de pagamentos iguais:
a_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } = \dfrac{ 1 }{ a_{ \overline{ n } | i } } = \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } \cdot i }{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }

3) Fator de acumulação de capital de uma série de depósitos iguais:
s_{ \overline{ n } | i } = \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }{ i }

4) Fator de formação de capital para uma série de depósitos iguais:
s_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } = \dfrac{ 1 }{ s_{ \overline{ n } | i } } = \dfrac{ i }{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }

A fórmula que iremos 'deduzir' correlaciona dois dos termos anteriores: o Fator de Recuperação de Capital e o Fator de Formação de Capital. Façamos a diferença entre eles:
\\a_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } - s_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } = \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } \cdot i }{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 } - \dfrac{ i }{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }\\\\a_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } - s_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } = \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } \cdot i - i}{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }\\\\a_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } - s_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } = \dfrac{ \left[ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 \right]\cdot i}{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }\\\\\boxed{ a_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } - s_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } = i  }

Ou seja, conhecendo um dos dois fatores e a taxa de juros, obtemos o outro fator! Simples!

Vejamos os dados do problema:
Entrada de 45% : 45% de 55.000 = 24.750
Saldo restante: 30.250
Prestações: 672,90
Taxa: 1% a.m.

Montando a 'fórmula', seria assim:
\\PV=PMT\cdot a_{ \overline{ n } | i }\\\\PV\cdot a_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } = PMT\\\\a_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } = \dfrac{ PMT }{ PV }\\\\a_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } = \dfrac{ 672,90 }{ 30\,250 }\\\\a_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } \approx 0,022245

Com esse anterior podemos obter o fator de formação de capital, para uma mesma taxa e mesmo período, claro:
\\a_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } - s_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } = i\\\\0,022245 - s_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } = 0,01\\\\s_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } = 0,022245 - 0,01\\\\s_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } = 0,012245\\\\s_{ \overline{ n } | i } = \dfrac{ 1 }{ s_{ \overline{ n } | i } ^ { -1 } } = \dfrac{ 1 }{ 0,012245 } \approx 81,665986

Agora poderemos calcular o quanto ele acumularia neste mesmo período:
\\FV = PMT \cdot s_{ \overline{ n } | i } = 672,90 \cdot 81,665986 = \boxed { 54\,953,04 }

Para chegar na resposta que propus devemos usar mais casas decimais.

Espero ter contribuído para o conhecimento de quem se aventurar a ler essa resolução!

Sds.