Função Quadrática

por Oziel Seg 15 Jan 2018, 15:19

Desenhe o gráfico da função definida por :

y=|x^2-1|+ x

Deduza o número de soluções da equação |x^2-1|+ x + k =0

gab:

por **Giovana Martins** Seg 15 Jan 2018, 15:57

|x²-1|= x²-1, se x ≤ -1 ou x ≥ 1

|x²-1|=-x²+1, se -1 < x < 1

Para x ≤ -1 ou x ≥ 1:

f(x)=x²+x-1

Para -1 < x < 1:

f(x)=-x²+x+1

Agora é só construir o gráfico de acordo com as restrições.

Para a segunda parte da questão, você poderia especificar a sua dúvida? Pois nesta parte não há muito o que se dizer. Neste caso, o gráfico já responde tudo. Olhemos para o eixo y. No intervalo ]-1,1[ a curva y=-k pode interceptar a curva y=|x²-1|+x duas vezes, ou seja, neste intervalo há duas soluções. Sendo assim:

-1 < y < 1 -> -1 < -k < 1 -> 1 > k > -1 ⇔ -1 < k < 1 ⇔ 2 soluções.

O resto você pode fazer de forma análoga.

Para ]1,5/4[:

1 < y < 5/4 -> 1 < -k < 5/4 -> -1 > k > -5/4 ⇔ -5/4 < k < -1 ⇔ 4 soluções

Para ]5/4,+∞[:

y > 5/4 -> -k > 5/4 ⇔ k < -5/4 ⇔ 2 soluções

Para k exatamente igual a -5/4 há três soluções.

Para k exatamente igual a -1 há três soluções.

Para k exatamente igual a 1 há uma solução.

Para todo k > 1 tem-se uma função constante que não intercepta a função y=|x²-1|+x, portanto, neste caso não há nenhuma solução.

por matheus__borges Ter 16 Jan 2018, 17:39

Giovana o gráfico foi dado pelo gabarito. Como você o construiu?
Quando eu fiz não encontrei todos os valores dado pelo gabarito.
x\leq -1\cap x\geq 1\rightarrow x^{2}-1+x+k=0\rightarrow x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}-k\rightarrow \left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}-k
-1< x< 1\rightarrow -x^{2}+x+1+k=0\rightarrow x^{2}-x+\frac{1}{4}=k+\frac{5}{4}\rightarrow \left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=k+\frac{5}{4}
E através dessas equações encontrei algumas soluções.
O Xv e o Yv estão resultando em uma expressão difícil de tirar conclusões.
Observando o gabarito eu compreendo sua veracidade mas qual o raciocínio para estipular esses valores de k abaixo?
-\frac{5}{4}< k< -1
-1< k> 1
k> 1
Foram os que não consegui fazer.

por **Giovana Martins** Ter 16 Jan 2018, 18:14

Para o segundo gráfico você faz o seguinte:

|x²-1|+x+k=0 => |x²-1|+x=-k

Faça f(x)=|x²-1|+x e g(x)=-k (que são retas paralelas ao eixo x que você obtêm ao atribuir valores para k).

Você pode se perguntar, por que eu não fiz |x²-1|=-x-k e, posteriormente, eu não fiz f(x)=|x²-1| e g(x)=-x-k. A resposta para isso é: bom senso. É bastante intuitivo trabalhar com a função que nos foi dada inicialmente, y=|x²-1|+x, visto que a questão até pede para construir o seu gráfico.

Bom, sabendo disso, eu reconstruí o gráfico f(x)=|x²-1|+x e, posteriormente, eu atribui alguns valores para k para que eu pudesse ver como a função g(x) se comportava. Note, pela imagem que eu postei, que ao atribuir valores para k, para alguns deles, tem-se que g(x) intercepta f(x) e, para outros valores, isso não ocorre.

Construindo f(x) da forma como eu indiquei ao colega Oziel é fácil de descobrir o vértice do arco de parábola presente na curva descrita por f(x).

Para -1 < x < 1 tem-se: f(x)=-x²+x+1. Sabendo disso, você já consegue achar o vértice V(1/2,5/4). Convenientemente, façamos k=-5/4, logo, obteremos g(x)=5/4 que intercepta f(x) três vezes e, portanto, teremos três soluções. Pense de forma análoga para k=±1.

"Observando o gabarito eu compreendo sua veracidade mas qual o raciocínio para estipular esses valores de k abaixo?"

Observe a imagem que eu postei. Note que, ao fazer f(x)=|x²-1|+x e g(x)=-k, posteriormente, fica bastante intuitivo atribuir os valores corretos para k e compreender o intervalo -5/4 < k < -1 (e, consequentemente, os outros intervalos). Veja:

Por sua vez, ao analisarmos o intervalo ]1,5/4[, é fácil ver que para qualquer valor de k neste intervalo obteremos 4 soluções, visto que neste intervalo g(x) interceptará f(x) 4 vezes. Portanto:

1 < y < 5/4 => 1 < g(x) < 5/4 => 1 < -k < 5/4 => -5/4 < k < -1

intervalo no qual obteremos 4 soluções. Pense de forma análoga para os outros intervalos.

Se houver dúvidas, é só falar.