Números Complexos -Um bairro

Um bairro localizado no centro de uma grande cidade tem a sua área descrita, no plano complexo, por |Re z| + |Im z| ≤ 2, em que z = x + iy, i = V–1, x = Re z e y = Im z denotam, respectivamente, a parte real e a imaginária do número complexo z, e as unidades dos eixos coordenados Ox e Oy são expressas em quilômetros. Considere que uma operadora de Internet via rádio tenha instalado uma antena na posição correspondente ao ponto P = 1 – i, que o sinal emitido pela antena tenha a mesma intensidade em todas as direções, que, em qualquer parte desse bairro, o sinal emitido pela antena chegue com qualidade do fluxo de dados satisfatória. Nesse caso, tomando 3,14 como valor aproximado para π, é correto afirmar que o sinal emitido pela antena, com qualidade satisfatória, atinge uma área pelo menos igual a

A) 12,56 km²
B) 31,40 km²
C) 36,30 km²
D) 56,52 km²

.Letra B

Exercício bem difícil, pois trata de um lugar geométrico que não é muito comum de se ver em complexos. Veja:



No exercício, temos um quadrado no plano de Gauss, já que estamos tratando de números complexos. Perceba que a distância de P até o centro do bairro (centrei na origem) vai ser o módulo (|P|).





O que nós queremos é descobrir o ponto mais distante do bairro onde o sinal chega. Como o sinal chega em todo o bairro, os pontos mais notáveis de para testar são os pontos médios e os vértices do quadrado. Perceba que a distância do ponto P até o ponto médio do lado oposto (simétrico dele) será

Pegando o vértice e calculando a distância d, achamos . Essa vai ser a maior distância de alcance conhecida (perceba que é bem intuitivo, pois conforme você desloca essa distância d pro lado ele vai visivelmente diminuir e volta a ter esse valor apenas no outro vértice). Portanto, saindo do ponto P para qualquer outro local, o máximo de alcance vai ser . Sendo assim, a área coberta vai ser uma circunferência de raio .

Achando a área da circunferência, temos: