Binômio de Newton

por Cristina Lins Sáb 13 Jan 2018, 14:23

Seja n um inteiro positivo. Demonstrar que todos os coeficientes do desenvolvimento do binômio de Newton (a + b)^n são ímpares se, e somente se, n é da forma 2^s –1.

por **Elcioschin** Sáb 13 Jan 2018, 21:49

Para s = 1 ---> n = 1 ---> coeficientes: 1, 1
Para s = 2 ---> n = 3 ---> coeficientes: 1, 3, 3, 1
Para s = 3 ---> n = 7 ---> coeficientes: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
Para s = 4 ---> n = 11 ---> coeficientes: 1, 11 55, 165, 335, 335, 165, 55, 11, 1

E assim, por diante para qualquer valor de s, os coeficientes dos termos do desenvolvimento serão ímpares

Note que, para n = 5, n = 9, .... os coeficientes não serão todos ímpares, por exemplo:

n = 5 ---> coeficientes: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 ---> não atende (pois 6 é par)