dobro do perímetro de EFG.

Estão esboçados abaixo os triângulos equiláteros ABC,
CDE e EFG que têm os lados AC, CE e EG na mesma reta. Os lados
de ABC e CDE medem 5 e 3, respectivamente, e o ângulo BDF mede
120º. Indique o dobro do perímetro de EFG.





R/ 45

Todos os ângulos internos dos triângulos equiláteros valem 60º

Seja B^DC = M ----> F^DE = 180º - M ----> senB^DG = senF^DE
Seja x o lado do triângulo EFG


Triângulo BCD ---> BD² = 5² + 3² - 2*5*3*cos60° ----> BD = \/19

BD/sen60º = BC/senB^DC ----> \/19/(\/3/2) = 5/senM ----> senM = 5*\/57/38


Triângulo FDE ----> DF² = x² + 3² - 2*x*3*cos60° ----> DF = \/(x² - 3x + 9)

DF/sen60º = EF/senF^DE ----> \/(x² - 3x + 9)/(\/3/2) = x/senM ----->

\/(x² - 3x + 9)/(\/3/2) = x/(5*\/57)/38

Elevando ao quadrado e simplificando cgaga-se a : 114x² - 1425x + 4275 = 0

Raízes: x = 5 (não interessa) e x = 15/2

Dobro do perímetro = 2*(3x) = 45

Obrigado Elcio:D
Excepcionalíssima solução.
Só não consegui enxergar: F^DE = 180º - M ----> senB^DG = senF^DE
Poderia me explicar?

Soma dos ângulos EM TORNO do vértice D = 360º:

B^DF + F^DE + C^DE + B^DC = 360º

120º + F^DE + 60º + B^DC = 360º

F^DE + B^DC = 180º

F^DE + B^DC = 180º

F^DE = 180º - B^DC ----> B^DC = M

Ângulos SUPLEMENTARES tem o mesmo seno ----> senF^DE = sennB^DC