Ajude Marta a descobrir quantos bombons havia em cada caixa

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Mensagem por Mhiime em Qui 26 Maio 2011, 18:04

Marta comprou 15 caixas de bombons, com conteúdos idênticos. O vendedor lhe informou que, considerando-se todas as caixas junstas, o número total de bombons tinha três algarismos, sendo que o das dezenas era igual a 4 e ps algarismos das unidades e das centenas eram consecutivos. Ajude Marta a descobrir quantos bombons havia em cada caixa
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Mensagem por Elcioschin em Qui 26 Maio 2011, 18:39

x = número total de bombons por caixa ----> 15x > 100 ----> x > 6

Suponho que o algarismo das centenas seja MAIOR do que o das unidades

Total de bombons = (a+1)4a = 100*(a + 1) + 40 + a = 101a + 140

15x = 101a + 140 ----> x = (101a + 140)/15 ----> x = 6a + 9 + (11a + 5)/15

Seja t inteiro ----> Fazendo t = (11a + 5)/15 ----> a = (15t - 5)/11 ----> a = t + (4t - 5)/11

Seja u inteiro ---> Fazendo u = (4t - 5)/11 ---> t = (11u + 5)/4 ---> t = 2u + 1 + (3u + 1)/4

Seja v inteiro ----> Fazendo v = (3u + 1)/4 ----> u = (4v - 1)/3 ----> u = v + (v - 1)/3

Seja w inteiro ----> Fazendo w = (v - 1)/3 ----> v = 3w + 1

Substituindo nas equações anteriores:

u = [4v - 1]/3 ----> u = [4*(3w + 1) - 1]/3 ----> u = 4w + 1

t = [11u + 5]/4 ----> t = [11*(4w + 1) + 5]/4 ----> t = 11w + 4

a = [15t - 5]/11 ----> a = [15*(11w + 4) - 5]/11 ----> a = 15w + 5

x = [101a + 140]/15 ----> x = [101*(15w + 5) + 140]/15 ----> x = 101w + 43

Menor valor de a ----> w = 0 ----> a = 5

Menor valor de x ----> w = 0 ----> x = 43

Cada caixa contém 43 bombons e o total de bombos é 645


Para maiores informações sobre a técnica utilizada leia tópico fixo "Equações Diofantinas"





Última edição por Elcioschin em Qui 26 Maio 2011, 23:18, editado 1 vez(es)
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Mensagem por ivomilton em Qui 26 Maio 2011, 23:00

@Mhiime escreveu:Marta comprou 15 caixas de bombons, com conteúdos idênticos. O vendedor lhe informou que, considerando-se todas as caixas junstas, o número total de bombons tinha três algarismos, sendo que o das dezenas era igual a 4 e ps algarismos das unidades e das centenas eram consecutivos. Ajude Marta a descobrir quantos bombons havia em cada caixa

Boa noite.

x = quantidade de bonbons em cada caixa
N = quantidade total de bonbons

N = 15*x
Da equação supra se depreende que N é multiplo de 3 e de 5; logo, o algarismo das unidades só poderá ser 0 ou 5 e a soma dos três algarismos deverá ser múltiplo de 3.

1ª hipótese:

Total de bonbons= C40 → onde C representa o algarismo das centenas.
Como C deve ser consecutivo de 0, só poderá ser 1; donde, C40 = 140.
Entretanto, 140 não é divisível por 3, pois 1+4+0 = 5 e 5 não é divisível por 3.

2ª hipotese:

Total de bonbons= C45, em que a soma dos algarismos é C+4+5 = C+9.
Como 9 é múltiplo de 3, para que a soma o seja, o valor de C também deverá sê-lo, donde temos que C deverá ser igual a 3, 6 ou 9. Dentre estes, o único que é consecutivo de 5 é o 6.

Finalizando:
N = 645
15.x = 645
x = 645/15
x = 43





Um abraço.

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Mensagem por Elcioschin em Qui 26 Maio 2011, 23:25

Mhiime

Como vc pode ver, foram apresentadas duas soluções:

1) Uma delas utilizando o método clássico de Diofanto
2) Outra, mais simples, usando aritmética básica, que leva a uma belíssima solução do colega Ivomilton.

Baseado na solução dele, e, por ele alertado descobrí um erro na última linha da minha solução, ao colocar o total de bombons. Já editei em vermelho.

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