Trigonometria + Geometria Plana

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Trigonometria + Geometria Plana

Mensagem por matheuscrj16 em Sab Set 30 2017, 09:09

Deseja-se fabricar um rolimã encaixando-se, sem folga, n esferas iguais de raio 1 cm entre dois anéis cilíndricos, tal como a figura a seguir:

Nessas condições, a razão R/r, em função de n, é igual a:


R: Cossec(Pi/n)+1 / Cossec (Pi/n)-1


Obs: eu consegui fazer de uma forma nada prática:

-Esbocei 3 circunferências C1, idênticas e tangentes, de raio R1 = 1 cm, e calculei o raio R3 da circunferência C3 formada pela união dos 3 centros das circunferências C1. Encontrei que esse raio R3 valia 2/√3


- Após isso, esbocei 4 circunferências C1, e novamente, calculei o raio R4 da circunferência C4 formada pela união dos 4 centros das circunferências C1. Encontrei que R4 valia 2/√2


- Observando as alternativas, percebi que os valores que encontrei para n=3 e n=4, batiam com a seguinte expressão genérica:


Rn = cossec (Pi/n) ; n é o número de circunferências C1


já que:
R3 = cossec (Pi/3) = 1/sen60º = 2/√3
R4 = cossec (Pi/4) = 1/sen45º = √2 ou 2/√2


Então cheguei ao gabarito final, Já que 
R= Rn +1 => Cossec (Pi/n) +1
r = Rn - 1 = > Cossec (Pi/n) - 1


Porém, eu gostaria de saber uma forma mais prática de resolver essa equação, visto que se fosse aberta eu não teria tido condições de resolvê-la. Aliá, essa "fórmula" que encontrei " Rn = cossec (Pi/n) ; Sendo Rn o raio da circunferência formada por N circunferências de raio 1cm" , teria aplicação ou dedução prática para qualquer que sejam N circunferências de raio qualquer?
Não encontrei algo que me ajudasse a resolvê-la de forma a não precisar do auxilio do gabarito.. Não soube de onde surgiram as funções trigonométricas. :/
Agradeço de antemão!

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Re: Trigonometria + Geometria Plana

Mensagem por evandronunes em Sex Out 27 2017, 23:15

Seja A o centro da circunferência de raio r e C o centro de uma das esferas. Traça-se o segmento \overline{AE}, onde E é o ponto de tangência dessa esfera com outra, conforme figura.

Temos que o triângulo AEC é retângulo em E. O ângulo EÂC = \pi / n .

O Segmento \overline{AC} = R - 1, logo 

sen(\pi /n)=\frac{1}{R-1} \Rightarrow R-1=\frac{1}{sen(\pi /n)} \Rightarrow R = cossec(\pi/n) +1

Mas, também, o segmento \overline{AC} = r + 1, assim 

sen(\pi /n)=\frac{1}{r+1} \Rightarrow r+1=\frac{1}{sen(\pi /n)} \Rightarrow r = cossec(\pi/n) -1

Portanto,

\frac{R}{r} = \frac{cossec(\pi/n) +1}{cossec(\pi/n) -1}.

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Re: Trigonometria + Geometria Plana

Mensagem por matheuscrj16 em Sex Out 27 2017, 23:28

evandronunes escreveu:Seja A o centro da circunferência de raio r e C o centro de uma das esferas. Traça-se o segmento \overline{AE}, onde E é o ponto de tangência dessa esfera com outra, conforme figura.

Temos que o triângulo AEC é retângulo em E. O ângulo EÂC = \pi / n .
Como chegou ao Pi/n?

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Re: Trigonometria + Geometria Plana

Mensagem por evandronunes em Sab Out 28 2017, 12:30

matheuscrj16 escreveu:

Como chegou ao Pi/n?

Matheus, una todos os centros das esferas. Será formado um polígono regular de n lados. 

O ângulo central desse polígono será dado por 2\pi / n.

Como o ângulo EÂC é a metado do ângulo central, vem que \pi / n.

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Re: Trigonometria + Geometria Plana

Mensagem por matheuscrj16 em Qui Nov 02 2017, 20:37

Obrigado

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Re: Trigonometria + Geometria Plana

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