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ITA 1996 - FUNÇÕES E P.G.

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Mensagem por Luigi Spagnol Seg 31 Jul 2017, 02:05

Seja * f :ℜ+ → ℜ uma função injetora tal que f(1) = 0 e f(x.y) = f(x) + f(y) pra todo x > 0 e y > 0. Se x1, x2, x3, x4 e x5 formam nessa ordem uma progressão geométrica, onde xi > 0 para i = 1, 2, 3, 4, 5 e sabendo que       ITA 1996 - FUNÇÕES E P.G. Png            e             ITA 1996 - FUNÇÕES E P.G. X_%7Bi-1%7D%29%20%3D%20-2f%282x_%7B1%7D%29      , então o valor de x1 é?


a) -2
b) 2
c) 3
d) 4
e) 1





B) 2:

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Mensagem por fantecele Seg 31 Jul 2017, 11:18

O certo seria e não com o "r", e o certo seria e não "i-1".

Sabendo disso vamos a resolução.

Estando x1, x2, x3, x4 e x5 em PG podemos escrever eles como sendo respectivamente iguais a .

De :



Do enunciado temos a seguinte relação "f(x.y) = f(x) + f(y)", daqui tiramos que "f(x^n) = nf(x)", para mostrar isso basta fazer:


Utilizando essa ideia em (I), temos que:



De :



Substituindo (III) em (II) e lembrando que f(1) = 0:



Substituindo em (III):



Sendo f uma função injetora tiramos que x1 = 2.

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Mensagem por Luigi Spagnol Seg 31 Jul 2017, 13:37

Muito obrigado. Realmente haviam aqueles erros no enunciado.

Ótima resolução.

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