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Mensagem por Luigi Spagnol em Ter 25 Jul 2017, 17:31

ITA - A inequação 4xlog5^(x+3) >= (x²+3)log1/5^(x+3) é satisfeita para todo x pertencente ao conjunto S. Então S é?


OBS 1: as bases dos logaritmos estão escritas do lado da palavra "log", enquanto os logaritmandos estão posteriores ao "^"

S = ]-3,-2] U [-1,INFINITO+[:

OBS 2: já encontrei a resolução correta, todavia gostaria de entender o porquê da falha no método que usei, que segue

Têm-se: 4xlog5^(x+3) >= (x²+3)log1/5^(x+3)
Condição de existência: x>-3

Implica que: -4xlog1/5(x+3) >= (x²+3)log1/5^(x+3)
Implica que: (x+3)^-4x <= (x+3)^(x²+3)
Implica que: -4x <= x²+3
Inequação de segundo grau: x²+4x+3 >= 0
Raízes -3 e -1, concavidade para cima, 
portanto, analisando a condição de existência, a resposta que teria encontrado é S = [-1,INFINITO+[

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Mensagem por nishio em Ter 25 Jul 2017, 17:56

Camarada, quando vc cancelou os logaritmos de bases iguais, na realidade, vc cancelou uma das soluções da inequação, pois se foi possível cancelar, significa que com esses valores a identidade seria verdadeira.
Por exemplo: quando eu tenho x2 = x e efetuo a divisão por x de ambos os lados, eu estou cancelando uma solução possível, que no caso seria o 0 e ficaria somente com a solução x = 1.
No caso do seu exercício, como vc tem no logaritmando uma expressão algébrica, vc cancelou uma solução para essa expressão, ok?

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Mensagem por Giovana Martins em Ter 25 Jul 2017, 18:02

(x+3)-4x <= (x+3)(x²+3)

Se x=-2,5 -> (1/2)^(10) ≤ (1/2)^(37/4) -> 10 ≤ 37/4 (ABSURDO!)

Como 0 < 1/2 < 1 -> (1/2)^(10) ≤ (1/2)^(37/4) -> 10 ≥ 37/4

Ou seja, como você não sabe qual valor x irá assumir, você não pode simplificar as bases como você fez, pois se x assumir um valor tal que a base fique entre o e 1, você pode cometer o erro que eu exemplifiquei acima.

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Mensagem por Giovana Martins em Ter 25 Jul 2017, 18:07

Editei meu post.

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Mensagem por Luigi Spagnol em Ter 25 Jul 2017, 18:13

Muito grato pelas respostas...
Havia percebido a falta de uma raiz para que o conjunto S encontrado fechasse com o gabarito... Entretanto ainda tenho duas inquietações:

Como isso de cancelar uma das soluções poderia ajudar-me a chegar na resposta? Ou melhor, que método eu poderia utilizar para não cometer esse erro?
A partir do que eu desenvolvi, percebi que se as raízes da equação de segundo grau fossem -2 e -1, minha resposta coincidiria com o gabarito, porém não foi isso que encontrei.

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Mensagem por Luigi Spagnol em Ter 25 Jul 2017, 18:17

Não tinha percebido que a base da exponencial poderia assumir valores<1
Obrigado Giovana...

Então na linha em que eu tenho a inequação exponencial eu deveria fazer duas possibilidades de desigualdade?

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Mensagem por Luigi Spagnol em Ter 25 Jul 2017, 19:00

Consegui resolver, obrigado.

Deve-se, a partir da exponencial, fazer duas inequações

Deve-se também interseccionar os intervalos solução de cada inequação com o intervalo de x para o qual essa inequação é efetiva.

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Mensagem por petras em Qua 26 Jul 2017, 00:04

\\4x.log_{5}(x + 3)\geq (x^2 + 3) . log_{\frac{1}{5}}(x + 3)\\\ 4x.log_{5}(x + 3)\geq (x^2 + 3) . (-log_{5}(x + 3))\\\ 4x.log_{5}(x + 3)+ (x^2 + 3) . log_{5}(x + 3)\geq 0\\\ log_{5}(x + 3).(x^2 + 4x+3)\geq 0\\\ \\  \rightarrow x>-3\\\ \\ 1)log_{5}(x + 3)\geq 0\rightarrow x+3\geq 1\rightarrow x\geq-2\\\ 2)(x^2 + 4x+3)\geq 0\rightarrow x\leq -3 \ ou\ x\geq -1\\\ \therefore x\geq -1\\\ \\3)log_{5}(x + 3)\leq  0\rightarrow x+3\geq 1\rightarrow x\leq -2\\\ 4)(x^2 + 4x+3)\leq  0\rightarrow 3 \leq x\leq  -1 \\\ \therefore -3 < x\leq  -2 \\\ \boxed{S=-3 < x \leq -2 \cup  x\geq -1}

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Mensagem por DIogoMarassi em Sex 20 Set 2019, 22:18

@petras escreveu:3)log_{5}(x + 3)\leq  0\rightarrow x+3\geq 1\rightarrow x\leq -2\\\ 4)(x^2 + 4x+3)\leq  0\rightarrow 3 \leq x\leq  -1 \\\ \therefore -3 < x\leq  -2 \\\ \boxed{S=-3 < x \leq -2 \cup  x\geq -1}
Olá, poderia me explicar essa inversao de sinal na primeira passagem? O por que do X<=2, e não o contrário? confused

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Mensagem por Nickds12 em Sex 20 Set 2019, 23:40

@DIogoMarassi escreveu:
@petras escreveu:3)log_{5}(x + 3)\leq  0\rightarrow x+3\geq 1\rightarrow x\leq -2\\\ 4)(x^2 + 4x+3)\leq  0\rightarrow 3 \leq x\leq  -1 \\\ \therefore -3 < x\leq  -2 \\\ \boxed{S=-3 < x \leq -2 \cup  x\geq -1}
Olá, poderia me explicar essa inversao de sinal na primeira passagem? O por que do X<=2, e não o contrário? confused

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Irei dar uma nova solução

\log_{1/5} (x+3) = \log_{5} (x+3)/\log_{5} (1/5) 

4x*\log_{5} (x+3) \geqslant (x^2+3)* \log_{5} (x+3)/\log_{5} (1/5)

4x \geqslant (x^2+3)/\log_{5} (1/5)  
4x \geqslant (x^2+3)/-1
0 \geqslant x^2 + 3 + 4x

x^2 + 3 + 4x = 0


Raízes da equação

x' = -3
x' = -1


Como x, por análise de intervalo de inequação,

x > -3

Seria letra A

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