divisao com dizima periodica

por **leozinho** Dom 08 maio 2011, 00:02

Considerando x, y e z números naturais. Na divisão de x obtém-se quociente z e resto 8. Sabe-se que a representação decimal de x/y, é a dízima periódica 7,363636...
Então, o valor de x+y+z é:

a)190
b)193
c)191
d)192

por **abelardo** Dom 08 maio 2011, 02:06

Veja que a expressão decimal periódica pode ser transformada em uma fração irredutível --> $\dpi{120} \frac{x}{y}=7,363636... \rightarrow \frac{x}{y}= \frac {729}{99} \rightarrow \frac{x}{y}=\frac{81}{11}$
Podemos isolar x --> $\dpi{120} x =\frac{81y}{11}$ . A questão diz que x é natural, logo ''perceba'' que y vai ter que ser um múltiplo de 11 diferente de zero. Posso dizer que $\dpi{120} y=11n$ então $\dpi{120} x=81n$ .

A questão diz que x divido por y dá z e resto 8 --> $\dpi{120} x = z\cdot y + 8$

Essa pergunta eu a vi no livro de Iezzi e terminei-a por meio da ''força bruta''. Testei valores a partir de 1 para n.
$\dpi{120} x = \frac{81\cdot (11 \cdot 1)}{11}=81 \rightarrow y= 11\cdot 1$ testei os valores de x e y em $\dpi{120} x = z\cdot y + 8$ , mas não encontrei um valor inteiro para z.
Tentei com n igual a 2 --> $\dpi{120} x = \frac{81\cdot (11 \cdot 2)}{11}=162 \rightarrow y= 11\cdot 2$ , e vi que z deu um valor inteiro --> $\dpi{120} x = z\cdot y + 8 \rightarrow 162=z\cdot 22 + 8 \rightarrow 162 = 7\cdot 22 +8$ .

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x=162\\ y=22\\ z = 7 \end{matrix}\right.$
$\dpi{120} 162+22+7=191$ , letra c)

OBS:Fiz dessa forma bruta, mas os amigos do fórum sabem fazer de um jeito mais simples. Pode esperar que aparece outra forma bem mais simples. Fica a minha observação.

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