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Trapézio/Sistema

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Mensagem por mcgiorda Sex 06 maio 2011, 17:52

Boa tarde, sou novo no fórum e este é meu primeiro post.
Gostaria que alguém resolvesse este problema:

"Mostre que em um trapézio retângulo de diagonais perpendiculares a altura é a média geométrica das bases."

E este:

"Se 4x + 2y = 1, prove que x² + y² >= 1/20"
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Mensagem por Elcioschin Sex 06 maio 2011, 19:42

Por favor siga as regras do fórm: poste APENAS 1 questão por tópico

Seja MNPQ o trapézio, sendo MN = b, PQ = B, MQ = h

Considere o trapézio situado num sistema xOy com o vértice Q na origem Q(,0, 0), a base maior B no eixo X ----> P(B, 0), o vértice M(0, h)

Equação da diagonal MP ---> y - 0 = (-h/B)*(x - B) ----> y = (-h/B)*x + h

Equação da diagonal NQ ----> y - 0 = (h/b)*(x - 0) ----> y = (h/b)*x

Cono as diagonais são perpendiculares o produto dos coeficientes angulares vale - 1:

(-h/B)*(h/b) = - 1 ----> h²/Bb = 1 ----> h² = Bb ----> h = \/(Bb) ----> Pronto
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Mensagem por mcgiorda Sex 06 maio 2011, 20:47

Muito obrigado pela resolução, desculpe por postar 2 questões no mesmo tópico.

Gostaria de saber se tem como resolver sem uso de geometria analítica, pois esse ex está na parte de geom. plana.

Grato!
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Mensagem por Elcioschin Sex 06 maio 2011, 22:03

Tem jeito sim:

Seja ângulo N^QP = x ----> P^MQ = x ----> M^NQ = x

No triângulo retângulo NMQ ----> tgM^NQ = MQ/MN ----> tgx = h/b

No triângulo retângulo MPQ ----> tgP^MQ = PQ/MQ ----> tgx = B/h

Igualando ambas ----> h/b = B/h ----> h² = Bb ----> h = \/Bb
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