Polinômio de Leibniz

por **Willian Honorio** Ter 20 Jun 2017, 15:55

Provarei a validade da expansão multinomial utilizando o Princípio da Indução Finita. O Binômio de Newton é generalizado pelo Polinômio de Leibniz, que é:

$(x_{1}+x_{2}+...+x_{p})^{n}=\sum \frac{n!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdot ...\cdot \alpha _{p}!}.x_{1}^{\alpha _{1}}.x_{2}^{\alpha _{2}}\cdot ...\cdot .x_{p}^{\alpha _{p}}\\\\\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{p}=n$

Onde o número de soluções inteiras e não negativas da equação acima é dada pela combinação completa:
$CR_{p}^{n}=\frac{(p+n-1)!}{(p-1)!n!}$

Para p=1 a identidade é válida:
$x_{1}^{n}=\sum \frac{n!}{\alpha _{1}!}.x_{1}^{\alpha _{1}}\\\\\alpha _{1}=n\Rightarrow x_{1}^{n}=\frac{n!}{n!}.x_{1}^{n}=x_{1}^{n}$

Supondo ser válido para p, devemos provar que será válido para p+1:
$(x_{1}+...+x_{p-1}+[x_{p}+x_{p+1}])^{n}=\sum \frac{n!}{\alpha _{1}!\cdot ...\cdot\alpha_{p-1}!\alpha !}.x_{1}^{\alpha _{1}}\cdot ...\cdot (x_{p}+x_{p+1})^{\alpha }=\\\\\sum_{\alpha _{1}+...+\alpha _{p-1}+\alpha =n}^{\,}\frac{n!}{\alpha _{1}!\cdot ...\cdot\alpha_{p-1}!\alpha !}.x_{1}^{\alpha _{1}}\cdot ...\cdot (x_{p}+x_{p+1})^{\alpha }\\\\\\(x_{p}+x_{p+1})^{\alpha }=\sum_{k=0}^{\alpha }\binom{\alpha }{k}x_{p}^{\alpha -k}.x_{p+1}^{k}\\\\\text{Fazendo}\,\,\alpha -k\,\,e\,k\,\mathrm{pot\hat{e}ncias\,com\,mesmo\,\acute{i}ndice\,de\,x,\,poderemos\,escrever}\\\mathrm{o\,Bin\hat{o}mio\,de\,Newton\,como\,outro\,Polin\hat{o}mio\,de\,Leibniz:}\\\\(x_{p}+x_{p+1})^{\alpha }=\sum \binom{\alpha }{\alpha _{p+1}}.x_{p}^{\alpha _{p}}.x_{p+1}^{\alpha _{p+1}}=\sum_{\alpha +\alpha _{p+1}=\alpha }^{\,}\frac{\alpha !}{\alpha_{p}!\alpha _{p+1}!}.x_{p}^{\alpha _{p}}.x_{p+1}^{\alpha _{p+1}}$

Na ante-penúltima expansão:
$(x_{1}+...+x_{p}+x_{p+1})^{n}=\sum_{\alpha _{1}+...+\alpha _{p-1}+\alpha =n}^{\,}\frac{n!}{\alpha _{1}!\cdot ...\cdot!\alpha!}.x_{1}^{\alpha _{1}}\cdot ...\cdot\,x_{p-1}^{\alpha _{p-1}}.\sum_{\alpha _{p}+\alpha _{p+1}=\alpha }^{\,}\frac{\alpha !}{\alpha _{p}!\alpha _{p+1}!}.x_{p}^{\alpha _{p}}.x_{p+1}^{\alpha _{p+1}}$

$\sum_{\alpha _{1}+...+\alpha _{p-1}+\alpha =n}^{\,}\sum_{\alpha _{p}+\alpha _{p+1}=\alpha }^{\,}\left (\frac{n!}{\alpha _{1}!\cdot ...\cdot!\not{\alpha!}}.x_{1}^{\alpha _{1}}\cdot ...\cdot\,x_{p-1}^{\alpha _{p-1}}.\frac{\not{\alpha!}}{\alpha _{p}!\alpha _{p+1}!}.x_{p}^{\alpha _{p}}.x_{p+1}^{\alpha _{p+1}} \right )\\\\\sum_{\alpha _{1}+...+\alpha _{p-1}+\alpha =n}^{\,}\sum_{\alpha _{p}+\alpha _{p+1}=\alpha }^{\,}=\sum_{\alpha _{1}+...+\alpha _{p-1}+\alpha _{p}+\alpha _{p+1}=n }^{\,}\\\\\therefore \\(x_{1}+...+x_{p}+x_{p+1})^{n}=\sum \frac{n!}{\alpha _{1}!\cdot ...\cdot \alpha _{p}!\alpha _{p+1}!}.x_{1}^{\alpha _{1}}\cdot ...\cdot x_{p}^{\alpha _{p}}.x_{p+1}^{\alpha _{p+1}}$

Provando portanto que é válido para todo p.

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