Números complexos

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Números complexos

Mensagem por EsdrasCFOPM em Seg Jun 19 2017, 10:59

Sabendo-se que o número complexo z = x + iy, com x < 0 < y, satisfaz z8 = 1, pode-se afirmar que  é

A) –1 
B) 1
C) 
D) –i
E) i

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Re: Números complexos

Mensagem por fantecele88 em Seg Jun 19 2017, 12:04



Sendo x < 0 < y, os afixos devem pertencer ao "2° quadrante". Dessa forma k deve ser igual a 3, então z será igual a  e z² igual a , portanto z² = -i e .

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Re: Números complexos

Mensagem por EsdrasCFOPM em Seg Jun 19 2017, 13:44

Obrigado pela resolução.

Por estar afastado dos estudos a alguns meses, ainda possuo algumas dificuldades. Tenho noção que cis(θ) representa a forma trigonométrica (cos(θ)+isen(θ)), mas ainda não consegui entender sua resolução.

Dúvidas:

-Sendo z8 = 1, isso implica que o módulo de z é 1? Se sim, por quê? 
-Baseado em que, pode-se afirmar que θ=2πk/8?
-Por que k=3?

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Re: Números complexos

Mensagem por fantecele88 em Seg Jun 19 2017, 14:49

-Sendo z8 = 1, isso implica que o módulo de z é 1? Se sim, por quê? 
Sim. É fácil perceber que |z8| = 1, sendo |zn| = |z|n, temos que |z8| = |z|8 = 1. O módulo de um número complexo dever ser real e positivo, dessa forma se |z|8 = 1 → , necessariamente |z| é igual a 1.


-Baseado em que, pode-se afirmar que θ=2πk/8?
Segunda lei de Moivre:


z8 = 1
z8 = cos(0)
z8 = cis(0)

Utilizando a segunda lei de Moivre, sendo "θ" = 0 e |z8| = 1:


k = 0; 1; 2; ...; 7.


-Por que k=3?
Temos que , dessa forma:



Obviamente  é positivo.

Do enunciado temos que x < 0 < y, portanto o cosseno deve ser negativo e o seno positivo.
De , vemos que o único valor que satisfaz a condição do seno e do cosseno acima é para quando temos k = 3.

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Re: Números complexos

Mensagem por EsdrasCFOPM em Seg Jun 19 2017, 18:46

z8 = 1
z8 = cos(0)
z8 = cis(0)

Nessa parte usa o cosseno como base porque o valor de zé real, não é?

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Re: Números complexos

Mensagem por fantecele88 em Seg Jun 19 2017, 20:15

z8 sim, cos(0) = 1.
A ideia ali era colocar o z8 na forma trigonométrica (z8 = cos(0) + i.sen(0)), acabei esquecendo do "i.sen(0)", porém não faz muita diferença, já que sen(0) = 0.

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Re: Números complexos

Mensagem por EsdrasCFOPM em Ter Jun 20 2017, 05:04

Valeu!

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Re: Números complexos

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