IFSP 2011 - Encontrar a Equação da Reta

Considere duas retas, r e s, passando pelo ponto (3;1) e equidistantes da origem do plano cartesiano. Se a equação da reta r é y = 1, então qual é a equação da reta s ?

Não entendi o que é "equidistantes da origem do plano cartesiano"

Resposta:

Oi Alex, tudo bem?

As retas são equidistantes da origem do plano significa que as distâncias da origem O(0,0) até as retas, devem ser as mesmas.

Lembrando que sempre que um problema fala ''distância'' ele está se referindo ao comprimento do segmento de reta que é perpendicular a determinada superfície/reta.

Observe a figura :



Como a distância da reta r à origem é 1, então a distância da reta s à origem também deve ser 1. Assim, AO = 1.

Além disso, o B é o ponto em que s corta o eixo x e portanto B( x1 ; 0).

A equação da reta s pode ser escrita da forma: 

y = ax + b  e substituindo o ponto B na equação chegamos em: 0 = ax1 + b → x1 = -b / a 

Assim o segmento OB tem medida -b / a

A medida do segmento BD é tal que BD = OD - OB 
BD = 3 - OB 
BD = 3 + (b/a)

Veja que os triângulos OAB e CDB são congruentes pelo caso ALA. Assim o comprimento de AB é igual ao comprimento de BD.

Então BA = 3 + (b/a)

Aplicando o teorema de pitágoras no triângulo OBA, vem que:



Substituindo o ponto (3,1) na equação da reta s:

1 = 3a + b (2)

De (1) em (2), temos:



Subsituindo de volta em (2):

1 = 2,25 + b → b = -1,25

Então a equação de s é: y = 0,75x - 1,25 
Ou 3x - 4y - 5 = 0

Um abraço

Valeu

Muito Obrigado