função (2)

(UFTM)

O gráfico da função f(x) = x² - (k+1)x + k, em que k é um número real maior do que 1, intercepta o eixo x nos pontos A e B, e cruza o eixo y no ponto C. Se a área do triângulo ABC é 21, então o valor minimo que a função f assume é

A) -4
B) -9
C) -16
D) -25
E) -36

f(x) = x² - (k+1)x + k

se A e B cortam o eixo das abscissas então são raízes de f(x) = 0

...............______________....................______
(k+1) + \/k² + 1 + 2k - 4k........(k+1) + \/(k-1)²
---------------------------- = ------------------- = k
..............2....................................2

...............______________
(k+1) - \/k² + 1 + 2k - 4k........(k+1) - \/(k-1)²
---------------------------- = ------------------- = 1
..............2....................................2

daí:

(k - 1)*k
---------- = 21 => k² - k - 42= 0 => raízes: k = 7 ou k = - 6 (não convém pois k>1)
.....2

então:

f(x) = x² - 8x + 7

x² - 8x + 7 = 0 tem raízes: x = 7 ou x = 1

ponto médio:

(7+1)/2 = 4

assim a função será mínima para:

x = 4 -> f(4) = 4² - 8*4 + 7 = 16 - 32 + 7 = - 9.

Jose Carlos escreveu:f(x) = x² - (k+1)x + k

se A e B cortam o eixo das abscissas então são raízes de f(x) = 0

...............______________....................______
(k+1) + \/k² + 1 + 2k - 4k........(k+1) + \/(k+1)²
---------------------------- = ------------------- = k
..............2....................................2

...............______________
(k+1) - \/k² + 1 + 2k - 4k........(k+1) - \/(k+1)²
---------------------------- = ------------------- = 1
..............2....................................2

desculpa não entendi essa parte, eu sei que vc usou baskara ai mas \/(k+1)² = (k+1) ??
então as raizes não seria:
1ª raiz [(k+1) + (k+1)]/2 = k + 1
2ª raiz [(k+1) - (k+1)]/2 = 0

olá,

\/16 = \/4² = 4

\/(k+1)² = (k+1)

qualquer coisa escreva.

se for assim as raizes seria (k+1) e 0. e não k e 1 como o senhor colocou...

olá killua05,

Vc tem toda razão, errei nessa parte:

\/k² - 2k + 1= ( k - 1 )²


Vou consertar lá.

Obrigado.

Estou com duas dúvidas nesse problema

1) O b era pra ser - (k+1), certo?, porque você utilizou (k+1) como b no calculo do delta?

2) Porque a menor área vai ser no ponto médio entre as raízes?

Muito Obrigado

1) Na fórmula deve-se usar - b = - [- (k + 1)] = k + 1

2) Porque o valor mínimo da função ocorre no vértice da parábola e a abcissa deste vértice é a média aritética das raíze, isto é, está no meio das raízes

Obrigado Mestre