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Circunferencias

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Mensagem por EstudanteCiencias Sáb 13 maio 2017, 10:59

Em um retangulo ABCD estao inscritas duas circunferencias (de raios nao necessariamente iguais) tangentes entre si, tais que uma delas é ainda tangente aos lados AB e AD, e a outra é tangente aos lados BC e CD do retangulo.

a) Mostre que o ponto de tangencia das duas circunferencias esta sobre a diagonal AC do retangulo.

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Circunferencias Empty Re: Circunferencias

Mensagem por douglasmdns Ter 16 maio 2017, 17:03

Vou ser sincero com você, minha demonstração não me convenceu muito, mas não achei erros nela, caso você ou alguém achar erros comente por favor.

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Agora vou explicar o que desenhei no papel:
Eu chamei de ponto P, o ponto de tangência entre as circunferências.Na figura (1), eu desenhei do ponto P um quadrado inscrito na circunferência, claro eu posso pegar de qualquer ponto e construir um quadrado dentro dessa circunferência.. nada de mais, o que eu fiz foi fazer o ponto P um vertice desse quadrado.Dai do ponto P tracei a diagonal, é claro que a diagonal de um quadrado também é bissetriz então o angulo formado é de 45 º.Você pode tirar dai também que se você agora traçar os diâmetros da circunferência de modo a formar 90 graus com os lados do quadrado, você ta dividindo o quadrado em 4 quadrados iguais(aquela propriedade que se você traçar um raio de uma circunferência você divide a corda ao meio)
Ai eu formei um novo quadrado de lado R, dai fica fácil você observando pela figura que as diagonais do quadradinho vai coincidir com a diagonal do quadrado de lado R, até porque um dos vértices se coincidem.
Agora tu faz a mesma coisa pra segunda circunferência.
Agora vamos para o que interessa, o que eu provei foi que essa reta AC é passa pelo ponto P de tangência, de tal maneira que ela ser diagonal tanto do quadrado da figura (1) quanto da figura (2), igual ta desenhado na figura (3), provei que isso acontece quando temos aqueles quadrados ali de lado R e r. Agora olha tua figura original, por causa da circunferência maior ser tangente nos lados AD e AB e a circunferência menor ser tangente aos lados DC e BC, isso também acontece, então está provado que a diagonal do retângulo AC passa pelo ponto de tangência P. E claro, por consequência esse retângulo tem que ser um quadrado.
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Circunferencias Empty Re: Circunferencias

Mensagem por Medeiros Qua 17 maio 2017, 03:11

Douglas

Honestamente confesso que não li toda a sua exposição, apenas o último parágrafo, mas discordo quando às duas últimas frases.

Em verdade, o retângulo NÃO tem que ser um quadrado. Necessitará sê-lo apenas se quisermos que os centros das circunferências também estejam naquela diagonal. No desenho apresentado o centro da maior está acima da diagonal e o centro da menor, abaixo.

O desenho fornecido ajuda a iludir; experimente fazer um desenho com o retângulo um pouco mais comprido e o círculo maior quase tangente ao lado superior e, também, aumente um pouco o diâmetro do círculo menor (embora mantendo-o menor que o primeiro). Verás que isto fica bem evidente.
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Circunferencias Empty Re: Circunferencias

Mensagem por douglasmdns Qua 17 maio 2017, 09:35

Olá Medeiros, bom dia, isso que você disse eu também pensei bastante enquanto estava tentando demonstrar. O que você falou é verdade, isso só acontece quando o centro da circunferência também esteja na diagonal.
Mas na figura (1) e (2) eu mostrei que se construirmos um quadrado inscrito na circunferência(com um dos vértices em P) e depois construirmos um quadrado exterior a circunferência de lado R(observe na figura 1), eu mostrei que as diagonais dos quadrado inscrito e do quadrado de lado R se coincidem.
Até ai só foi um caso "especial", dai eu mostrei que isso também ocorre na figura original, pois a circunferência é tangente em AD e AB, logo podemos construir um quadrado de lado R, e outro de lado (r) no retângulo da figura, e o que eu provei antes foi que a diagonal destes quadrados de lado R e (r) se coincidem, logo ta todo mundo ai passando pelo centro da circunferência, dai por consequência disso eu deduzi que a figura teria que ser um quadrado pra isso acontecer pra qualquer duas circunferências.
Resumindo, eu parti de um caso especial, onde que eu mostrei que isso passa pelo centro da circunferência e pelo ponto de tangência, até ai nada de mais pois é só um caso especial, mas dai eu mostrei que esse caso especial também ocorre na figura original, por consequência da circunferência "maior" ser tangente ao lado AD e AB e a circunferência "menor" ser tangente em BC e DC, eu realmente não consegui enxergar um erro ai nessa parte.
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