Simetria ao plano

Sejam Pi um plano e um ponto P que não pertence ao plano Pi. Baixando uma perpendicular de P até pi encontramos o ponto Q pertencente a Pi. Definimos o simétrico de P em relação ao plano Pi como sendo o único ponto P1 que satisfaz PQ = QP1
Que estratégia pode ser usada para encontrar o ponto P1?
Em seguida aplique-a para encontrar o simétrico da origem em relação ao plano 2x- 2y + z = 3.

temps o plano pi1: 2x- 2y + z = 3.
............................................->
o vetor normal ao plano pi1 será: n = ( 2, -2, 1 )
...........................................................................->
A reta que passa pela origem e tem vetor diretor igual a v = (2, -2, 1 ) será:

x - 0......y - 0......z - 0
----- = ------- = ------
..2......... -2.......... 1

podemos escrever a reta como:

y = - x

z = x/2

Assim, o ponto de interseção da reta com o plano será:

2x- 2y + z = 3

2*x - 2*(-x) + (x/2) = 3

2*x + 2*x + (x/2) = 3

4*x + (x/2) = 3

8*x + x = 6 => 9*x = 6 => x = 2/3

então:

y = - x => y = - 2/3

z =x/2 => z = 1/3

Ponto de interseção: M ( 2/3 , -2/3 , 1/3 )

Assim, usaremos o fato do ponto M de interseção da reta com o plano ser médio da origem com o ponto simétrico P1:

0 + xP1
--------= 2/3 => xP1 = 4/3
.... 2

0 + yP1
--------- = -2/3 => yP1 = - 4/3
... 2

0 + zP1
--------= 1/3 => zP1 = 2/3
....2

P1 ( 4/3, -4/3, 2/3 )

Por gentileza confira com gabarito.