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Estudo de polinômios

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Estudo de polinômios Empty Estudo de polinômios

Mensagem por Christiane Zaidan Seg 18 Abr 2011, 17:55


Existe algum número racional que seja igual ao seu cubo mais 1? Quebrei a cabeça, mas ainda não estou certa da resposta.
Alguém pode me ajudar?

Christiane Zaidan
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Estudo de polinômios Empty Re: Estudo de polinômios

Mensagem por Rkinta Seg 18 Abr 2011, 20:55

x = x³ + 1
x³ - x + 1 = 0
Se existir algum número racional, poderemos fatorar utilizando o Lema de Gauss.

1º caso:
(x + 1)(x² + ax + 1) = x³ + (a+1)x² + (a+1)x + 1
Observe que isso não é possível (os termos de grau 2 e 1 devem ser iguais).

2º caso:
(x - 1)(x² + ax - 1) = x³ + (a-1)x² - (a+1)x + 1
Devemos ter:
i) a - 1 = 0 => a = 1
ii) a + 1 = 1 => a = 0, absurdo.

Logo, não há x racional que satisfaça o enunciado.

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Estudo de polinômios Empty Re: Estudo de polinômios

Mensagem por Elcioschin Seg 18 Abr 2011, 22:16

Outra solução:

x³ - x - 1 = 0

Se existir raiz racional ele deverá ser dada pela relação entre os divisores inteiros do termo idependente de x (+ 1 ou - 1) e os divisores do termo de maior grau (+ 1 e -1)

Logo as raízes racionais, caso existam, seriam inteiras ----> x = +1 e x = -1

Facilmente se vê que nenhum dos dois valores é raiz da equação.

Logo, não existem raízes racionais.
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Estudo de polinômios Empty agradecimento

Mensagem por Christiane Zaidan Ter 19 Abr 2011, 17:13

Obrigada pelas 2 formas de resolver. Ainda me enrolo com os polinômios

Christiane Zaidan
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