Números Complexos

por EdivamEN Qua 01 Mar 2017, 14:47

Sendo z=cosθ +isenθ, a expressão que melhor representa z∧n - z∧⁻n é:

A) cos (nθ) B) 2isen (nθ) C) -2isen(nθ) D) 2cos(nθ)E) 2sen(nθ)

Infelizmente não tenho o gabarito, desde já, agradeço pela ajuda.

por **fantecele** Qua 01 Mar 2017, 15:31

z = cos(x) + isen(x)
z^n = (cos(x) + isen(x))^n
Utilizando a primeira fórmula de Moivre
z^(n) = (cos(nx) + isen(nx))
z^(-n) = (cos(x) + isen(x))^(-n) = (cos(-nx) + isen(-nx))
A função cosseno é par e a função seno é ímpar, então:
cos(-nx) = cos(nx)
sen(-nx) = -sen(nx)

z^(n) + z^(-n) = cos(nx) + isen(nx) + cos(nx) - isen(nx)
z^(n) + z^(-n) = 2cos(nx)

Qualquer dúvida é só perguntar.