PiR2
Gostaria de reagir a esta mensagem? Crie uma conta em poucos cliques ou inicie sessão para continuar.

Os Pontos Médios

3 participantes

Ir para baixo

Os Pontos Médios Empty Os Pontos Médios

Mensagem por GILSON TELES ROCHA Sex 08 Abr 2011, 21:23

Os pontos L,M e N são pontos médios de arestas do cubo, como mostra a figura. Quanto mede o ângulo MLN?

Os Pontos Médios Gilz

Gabarito 30°

GILSON TELES ROCHA
Mestre Jedi
Mestre Jedi

Mensagens : 556
Data de inscrição : 21/12/2010
Idade : 47
Localização : MORRINHOS,CEARÁ-BRASIL

Ir para o topo Ir para baixo

Os Pontos Médios Empty Re: Os Pontos Médios

Mensagem por Agente Esteves Sáb 09 Abr 2011, 20:47

É para eu saber essa questão. É a minha matéria, então eu vou fazer. =]

Tomei a liberdade de desenhar na sua ilustração três triângulos, cada um formado pela ligação entre dois dos três pontos citados.
Os Pontos Médios Problemadematematica

Você pode ver que eu medi todos os lados. No triângulo que está na face inferior, as medidas são essas porque o ponto também é mediano. ^^ (Fiz todos os cálculos em Pitágoras.)

Para podermos saber qual é o ângulo do triângulo MLN, devemos saber quais são os seus lados. Os lados MN e LM, que aliás, são iguais, podem ser obtidos facilmente por Pitágoras. A medida desses lados é a√2/2.
Já o lado LN é um pouco mais complicado de se obter. LEMBRANDO QUE A FIGURA DÁ O VALOR ERRADO. (Sim, só para ver se você ia prestar atenção. XDD) Então vamos calcular o certo. Para calculá-lo, precisamos fazer Pitágoras do triângulo LNO (vamos chamar aquele ponto de O, tudo bem? o.O).

x² = (a√2/2)² + a²
x² = 2a²/4 + a²
x² = 2a²/4 + 4a²/4 = 6a²/4
x = a√6/2

Então, com esta informação, sabemos os três lados do triângulo. =D
Agora, pense no triângulo MLN sozinho, a parte, com os seus três lados. Para podermos ver as relações trigonométricas nesse triângulo, precisamos então repartir esse triângulo ao meio. Vamos repartir o lado LN através de uma reta perpendicular a este lado que passe pelo ponto M. Conseguiu mentalizar? Ótimo. Podemos fazer então assim...

cos L = a√6/4 (que seria metade do lado LN, nós o cortamos, lembra?) / a√2/2
cos L = a√6/4 / a√2/2
cos L = a√6/4 * 2/a√2 = 2a√6 / 4a√2 (Podemos cortar o "a" e o "2") = √6 / 2√2
Agora, uma racionalização:
cos L = √12 / 4 = 2√3 / 4 = √3/2

Se o cosseno de L é √3/2, então o ângulo L seria qual? O ângulo de trinta graus. =D

Desculpe os erros da figura, mas é que eu estava com um pouco de pressa... >_<
Mas eu tentei ajudar. Espero que tenha conseguido. =D
Agente Esteves
Agente Esteves
Grupo
Velhos amigos do Fórum

Grupo Velhos amigos do Fórum

Mensagens : 1267
Data de inscrição : 09/11/2010
Idade : 29
Localização : Rio de Janeiro - RJ

Ir para o topo Ir para baixo

Os Pontos Médios Empty Re: Os Pontos Médios

Mensagem por Euclides Sáb 09 Abr 2011, 21:15

Agente Esteves escreveu:É para eu saber essa questão. É a minha matéria, então eu vou fazer. =]

Bom trabalho menina!

____________________________________________
In memoriam - Euclides faleceu na madrugada do dia 3 de Abril de 2018.
assinatura 1
Lembre-se de que os vestibulares têm provas de Português também! Habitue-se a escrever corretamente em qualquer circunstância!

O Universo das coisas que eu não sei é incomensuravelmente maior do que o pacotinho de coisas que eu penso que sei.
Euclides
Euclides
Fundador
 Fundador

Mensagens : 32508
Data de inscrição : 07/07/2009
Idade : 74
Localização : São Paulo - SP

Ir para o topo Ir para baixo

Os Pontos Médios Empty Re: Os Pontos Médios

Mensagem por Conteúdo patrocinado


Conteúdo patrocinado


Ir para o topo Ir para baixo

Ir para o topo

- Tópicos semelhantes

 
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos