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Unicamp (1987)

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Mensagem por pmanfredo Sáb 14 Jan 2017, 19:57

Na figura, temos uma circunferência de centro O e raio r. Sabendo que BC mede r, prove que a medida do ângulo ABP é 1/3 da medida do ângulo AOP
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Mensagem por Giovana Martins Sáb 14 Jan 2017, 20:07

AÔP=x -> O arco AP é igual a x.

Trace o segmento OC. O triângulo AOC é isósceles de base AC. Os ângulos OAC e ACO medem y. Assim, o ângulo BOC mede 2y (a medida do ângulo externo ao triângulo AOC é igual a soma dos ângulos internos não adjacentes a ele). Note que CO e BC medem r, assim, o ângulo CBO também mede 2y, visto que o triângulo COB é isósceles de base OB. Seja Q o ponto de intersecção do segmento OB com a circunferência. O arco CQ mede 2y, portanto.

Pelas propriedades dos ângulos na circunferência:

ABP=(AP-CQ)/2 -> 2y=(x-2y)/2 -> y=x/6

ABP=2y=2.(x/6)=x/3

Mas, AÔP=x -> APB=AÔP/3 C.Q.D.

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Mensagem por Giovana Martins Sáb 14 Jan 2017, 20:14

Fiz uma correção. Na primeira postagem, devido a um erro de digitação, eu disse que AC=BC, mas o correto é CO=BC.

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Mensagem por pmanfredo Sáb 14 Jan 2017, 20:55

Muito obrigado

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Mensagem por Giovana Martins Sáb 14 Jan 2017, 20:57

De nada!

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Mensagem por superaks Sáb 14 Jan 2017, 21:28

Olá Giovana, tudo bem?


Fiquei com dúvida a respeito ".. Assim, o ângulo BOC mede 2y ..".


O ângulo externo não é obtido através de um prolongamento de um dos segmentos do triângulo com o lado adjacente a esse prolongamento?


Vou anexar uma imagem a baixo pra esclarecer melhor minha dúvida.



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Mensagem por Giovana Martins Sáb 14 Jan 2017, 21:59

Tens razão, superarks. Foi uma decisão equivocada. Refiz a questão de um 
outro jeito:

Unicamp (1987)   15n7rtg

- O arco CQ mede 180°-(x+z).

No triângulo ACO: z=180°-2y (1)

Pelas propriedades dos ângulos na circunferência:

ABP=(AP-CQ)/2 -> 180°-(x+z)=[x-(180°-(x+z))]/2 -> 4x+3z=540° (2)

(1) -> (2): 4x+3.(180°-2y)=540° -> y=2x/3

ABP=180°-(x+z)=180°-(x+180°-2y)=180°-[x+180°-2.(2x/3)] -> ABP=x/3

Mas, AÔP=x -> ABP=AÔP/3 C.Q.D.

Obrigada, superarks. Perdoe-me, pmanfredo.

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Mensagem por superaks Sáb 14 Jan 2017, 23:10

Perfeito, entendi tudo!

Obrigado pela correção! =)
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Mensagem por Giovana Martins Sáb 14 Jan 2017, 23:13

Imagina. Eu que agradeço Smile!

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Mensagem por Medeiros Dom 15 Jan 2017, 00:41

Giovana,
acho que há alguma confusão em conta:
Unicamp (1987)   2hg6c6c


Outro modo.
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