Unicamp (1987)
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Unicamp (1987)
Na figura, temos uma circunferência de centro O e raio r. Sabendo que BC mede r, prove que a medida do ângulo ABP é 1/3 da medida do ângulo AOP
pmanfredo- Iniciante
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Localização : Passo Fundo, RS, Brasil
Re: Unicamp (1987)
AÔP=x -> O arco AP é igual a x.
Trace o segmento OC. O triângulo AOC é isósceles de base AC. Os ângulos OAC e ACO medem y. Assim, o ângulo BOC mede 2y (a medida do ângulo externo ao triângulo AOC é igual a soma dos ângulos internos não adjacentes a ele). Note que CO e BC medem r, assim, o ângulo CBO também mede 2y, visto que o triângulo COB é isósceles de base OB. Seja Q o ponto de intersecção do segmento OB com a circunferência. O arco CQ mede 2y, portanto.
Pelas propriedades dos ângulos na circunferência:
ABP=(AP-CQ)/2 -> 2y=(x-2y)/2 -> y=x/6
ABP=2y=2.(x/6)=x/3
Mas, AÔP=x -> APB=AÔP/3 C.Q.D.
Trace o segmento OC. O triângulo AOC é isósceles de base AC. Os ângulos OAC e ACO medem y. Assim, o ângulo BOC mede 2y (a medida do ângulo externo ao triângulo AOC é igual a soma dos ângulos internos não adjacentes a ele). Note que CO e BC medem r, assim, o ângulo CBO também mede 2y, visto que o triângulo COB é isósceles de base OB. Seja Q o ponto de intersecção do segmento OB com a circunferência. O arco CQ mede 2y, portanto.
Pelas propriedades dos ângulos na circunferência:
ABP=(AP-CQ)/2 -> 2y=(x-2y)/2 -> y=x/6
ABP=2y=2.(x/6)=x/3
Mas, AÔP=x -> APB=AÔP/3 C.Q.D.
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Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 7521
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Localização : São Paulo
Re: Unicamp (1987)
Fiz uma correção. Na primeira postagem, devido a um erro de digitação, eu disse que AC=BC, mas o correto é CO=BC.
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Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 7521
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Re: Unicamp (1987)
Muito obrigado
pmanfredo- Iniciante
- Mensagens : 29
Data de inscrição : 19/10/2015
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Localização : Passo Fundo, RS, Brasil
Re: Unicamp (1987)
De nada!
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Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 7521
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Re: Unicamp (1987)
Olá Giovana, tudo bem?
Fiquei com dúvida a respeito ".. Assim, o ângulo BOC mede 2y ..".
O ângulo externo não é obtido através de um prolongamento de um dos segmentos do triângulo com o lado adjacente a esse prolongamento?
Vou anexar uma imagem a baixo pra esclarecer melhor minha dúvida.
Fiquei com dúvida a respeito ".. Assim, o ângulo BOC mede 2y ..".
O ângulo externo não é obtido através de um prolongamento de um dos segmentos do triângulo com o lado adjacente a esse prolongamento?
Vou anexar uma imagem a baixo pra esclarecer melhor minha dúvida.
superaks- Mestre Jedi
- Mensagens : 525
Data de inscrição : 27/06/2016
Idade : 22
Localização : São Paulo, Guarulhos, Brasil
Re: Unicamp (1987)
Tens razão, superarks. Foi uma decisão equivocada. Refiz a questão de um
outro jeito:
- O arco CQ mede 180°-(x+z).
No triângulo ACO: z=180°-2y (1)
Pelas propriedades dos ângulos na circunferência:
ABP=(AP-CQ)/2 -> 180°-(x+z)=[x-(180°-(x+z))]/2 -> 4x+3z=540° (2)
(1) -> (2): 4x+3.(180°-2y)=540° -> y=2x/3
ABP=180°-(x+z)=180°-(x+180°-2y)=180°-[x+180°-2.(2x/3)] -> ABP=x/3
Mas, AÔP=x -> ABP=AÔP/3 C.Q.D.
Obrigada, superarks. Perdoe-me, pmanfredo.
outro jeito:
- O arco CQ mede 180°-(x+z).
No triângulo ACO: z=180°-2y (1)
Pelas propriedades dos ângulos na circunferência:
ABP=(AP-CQ)/2 -> 180°-(x+z)=[x-(180°-(x+z))]/2 -> 4x+3z=540° (2)
(1) -> (2): 4x+3.(180°-2y)=540° -> y=2x/3
ABP=180°-(x+z)=180°-(x+180°-2y)=180°-[x+180°-2.(2x/3)] -> ABP=x/3
Mas, AÔP=x -> ABP=AÔP/3 C.Q.D.
Obrigada, superarks. Perdoe-me, pmanfredo.
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Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 7521
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Re: Unicamp (1987)
Perfeito, entendi tudo!
Obrigado pela correção! =)
Obrigado pela correção! =)
superaks- Mestre Jedi
- Mensagens : 525
Data de inscrição : 27/06/2016
Idade : 22
Localização : São Paulo, Guarulhos, Brasil
Re: Unicamp (1987)
Imagina. Eu que agradeço !
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Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 7521
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Re: Unicamp (1987)
Giovana,
acho que há alguma confusão em conta:
Outro modo.
acho que há alguma confusão em conta:
Outro modo.
Medeiros- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 10368
Data de inscrição : 01/09/2009
Idade : 72
Localização : Santos, SP, BR
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