Circunferência
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Circunferência
Uma circunferência de centro C, inscrita em um ângulo reto XÔY, tangência o lado OX em D. Uma semirreta de origem O, interna ao ângulo XÔY, intercepta a circunferência C nos pontos A e B, tais que o arco AD é a metade do arco BD. Calcule o ângulo BÔD.
Gab.: 15º
Gab.: 15º
CrazyITA- Iniciante
- Mensagens : 13
Data de inscrição : 23/08/2014
Idade : 39
Localização : Pindamanhagaba
Re: Circunferência
Boa noite.
Desenhe a circunferência tangenciando Ox e Oy, com xÔy = 90º. Desenhe a semirreta e identifique os pontos A e B. Desenhe o segmento CD. A semirreta toca CD em E.
Seja o ângulo DOE ou DOB. Como ODE = 90º, OEC = 90º + .
Nos foi dito que AD = BD/2. Então, ACD = DCB/2. No triângulo ABC, BAC+ACB+CBA = 180º. CBA = BAC, pois o triângulo é isósceles (os lados AC e BC são iguais ao raio da circunferência).
BAC + 3ACD + BAC = 180º.
BAC = 90º -3(ACD)/2
No triângulo AEC:
BAC+AEC+ECA = 180º
90º -3(ACD)/2 +90º++ECA = 180º
ACD = ECA, pois E e D estão no mesmo segmento.
Assim:
ACD = 2. Concluímos que CAE =90º - 3.
Agora há uma infinidade de maneiras de prosseguir. Vou apresentar apenas uma.
Lei dos senos no triângulo AEC:
No triângulo OED:
Diferença/soma em produto:
Desenhe a circunferência tangenciando Ox e Oy, com xÔy = 90º. Desenhe a semirreta e identifique os pontos A e B. Desenhe o segmento CD. A semirreta toca CD em E.
Seja o ângulo DOE ou DOB. Como ODE = 90º, OEC = 90º + .
Nos foi dito que AD = BD/2. Então, ACD = DCB/2. No triângulo ABC, BAC+ACB+CBA = 180º. CBA = BAC, pois o triângulo é isósceles (os lados AC e BC são iguais ao raio da circunferência).
BAC + 3ACD + BAC = 180º.
BAC = 90º -3(ACD)/2
No triângulo AEC:
BAC+AEC+ECA = 180º
90º -3(ACD)/2 +90º++ECA = 180º
ACD = ECA, pois E e D estão no mesmo segmento.
Assim:
ACD = 2. Concluímos que CAE =90º - 3.
Agora há uma infinidade de maneiras de prosseguir. Vou apresentar apenas uma.
Lei dos senos no triângulo AEC:
No triângulo OED:
Diferença/soma em produto:
gilberto97- Fera
- Mensagens : 587
Data de inscrição : 12/03/2014
Idade : 26
Localização : São Luís, Maranhão, Brasil
Re: Circunferência
Obrigado!
CrazyITA- Iniciante
- Mensagens : 13
Data de inscrição : 23/08/2014
Idade : 39
Localização : Pindamanhagaba
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