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Circunferência

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Circunferência Empty Circunferência

Mensagem por CrazyITA Sex 06 Jan 2017, 15:59

Uma circunferência de centro C, inscrita em um ângulo reto XÔY, tangência o lado OX em D. Uma semirreta de origem O, interna ao ângulo XÔY, intercepta a circunferência C nos pontos A e B, tais que o arco AD é a metade do arco BD. Calcule o ângulo BÔD.

Gab.: 15º

CrazyITA
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Circunferência Empty Re: Circunferência

Mensagem por gilberto97 Sex 06 Jan 2017, 20:49

Boa noite.

Desenhe a circunferência tangenciando Ox e Oy, com xÔy = 90º. Desenhe a semirreta e identifique os pontos A e B. Desenhe o segmento CD. A semirreta toca CD em E. 

Seja Circunferência Gif o ângulo DOE ou DOB. Como ODE = 90º, OEC = 90º + Circunferência Gif

Nos foi dito que AD = BD/2. Então, ACD = DCB/2. No triângulo ABC, BAC+ACB+CBA = 180º. CBA = BAC, pois o triângulo é isósceles (os lados AC e BC são iguais ao raio da circunferência).

BAC + 3ACD + BAC = 180º.

BAC = 90º -3(ACD)/2

No triângulo AEC:

BAC+AEC+ECA = 180º

90º -3(ACD)/2 +90º+Circunferência Gif+ECA = 180º

ACD = ECA, pois E e D estão no mesmo segmento.

Assim:

ACD = 2Circunferência Gif. Concluímos que CAE =90º - 3Circunferência Gif.

Agora há uma infinidade de maneiras de prosseguir. Vou apresentar apenas uma. 

Lei dos senos no triângulo AEC:

Circunferência Gif

Circunferência Gif

No triângulo OED:

Circunferência Gif

Diferença/soma em produto:

Circunferência Gif

Circunferência Gif

Circunferência Gif
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Circunferência Empty Re: Circunferência

Mensagem por CrazyITA Sáb 07 Jan 2017, 15:58

Obrigado!

CrazyITA
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Circunferência Empty Re: Circunferência

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