Circunferência

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Circunferência

Mensagem por CrazyITA em Sex Jan 06 2017, 14:59

Uma circunferência de centro C, inscrita em um ângulo reto XÔY, tangência o lado OX em D. Uma semirreta de origem O, interna ao ângulo XÔY, intercepta a circunferência C nos pontos A e B, tais que o arco AD é a metade do arco BD. Calcule o ângulo BÔD.

Gab.: 15º

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Re: Circunferência

Mensagem por gilberto97 em Sex Jan 06 2017, 19:49

Boa noite.

Desenhe a circunferência tangenciando Ox e Oy, com xÔy = 90º. Desenhe a semirreta e identifique os pontos A e B. Desenhe o segmento CD. A semirreta toca CD em E. 

Seja [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.] o ângulo DOE ou DOB. Como ODE = 90º, OEC = 90º + [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]

Nos foi dito que AD = BD/2. Então, ACD = DCB/2. No triângulo ABC, BAC+ACB+CBA = 180º. CBA = BAC, pois o triângulo é isósceles (os lados AC e BC são iguais ao raio da circunferência).

BAC + 3ACD + BAC = 180º.

BAC = 90º -3(ACD)/2

No triângulo AEC:

BAC+AEC+ECA = 180º

90º -3(ACD)/2 +90º+[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]+ECA = 180º

ACD = ECA, pois E e D estão no mesmo segmento.

Assim:

ACD = 2[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]. Concluímos que CAE =90º - 3[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.].

Agora há uma infinidade de maneiras de prosseguir. Vou apresentar apenas uma. 

Lei dos senos no triângulo AEC:

[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]

[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]

No triângulo OED:

[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]

Diferença/soma em produto:

[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]

[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]

[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]

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Re: Circunferência

Mensagem por CrazyITA em Sab Jan 07 2017, 14:58

Obrigado!

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