Troncos

A rotação completa do triangulo ABC, retangulo em A, em torno do eixo XY, conforme a ilustração, gera um sólido. Sendo AC = 4cm, BC = 5cm, BX é perpendicular a XY e AX = 2cm. Calcule a área total do solido.


Obs.: minha resposta deu 72pi cm^2. Porém o gabarito é 56pi cm^2.

At=π[(R+r).g+R²+r²] ; r=AX=2 ; R=AX+BA=2+√(BC²-AC²) --> R=5 ; g=BC=5

At=π[(5+2).5+25+4]
At=64π

EsdrasCFOPM escreveu:At=π[(R+r).g+R²+r²] ; r=AX=2 ; R=AX+BA=2+√(BC²-AC²) --> R=5 ; g=BC=5

At=π[(5+2).5+25+4]
At=64π

Você calculou a area total do tronco de cone, porém faltou excluir as areas da base do cilindro interno, e depois disso somar a area lateral do cilindro interno.

Não faltou não:

At = pi.[(R + r).g + R² + r²] ---> At = pi.(R + r).g + pi.R² + pi.r²

Em vermelho a área lateral e em verde as áreas das bases

A_cil=2πr(h+r) ; h=4 ; r=2

A_cil=2π2(4+2)
A_cil=24π cm²

Se for a área só da parte do triângulo, fica

A=64π-24π=40π cm²

Resolvendo passo-a-passo:

1) Desenhem um trapézio YC'B'A'X, simétrico ao trapézio YCBAX, em relação ao eixo XY
2) Prolonguem BC e B'C' até encontrarem o prolongamento de XY, no ponto E
3) EBB' é o cone original a partir do qual, retirando o conezinho ECC', vai restar o tronco de cone BCB'C'  

Da figura temos:

r = AX = A'X = CX = C'X = 2
R = BX = AB + AX ---> R = 3 + 2 ---> R = 5 ---> B'X = 5
AC = A'C' = XY = H = 4
EY = h
BC² = AB² + AC² ---> BC² = 3² + 4² ---> BC = 5 

Trângulos ECC' e EBB" são semelhantes ---> EY/CC' = EX/BB' ---> h/4 = (h + 4)/10 ---> h = 8/3
 
EC² = EY² + CY² ---> EC² = (8/3)² + 2² ---> EC = 10/3 ---> g = 10/3
EB = EC + BC ---> EB = 10/3 + 5 ---> EB = 25/3 ---> G = 25/3

Área lateral de ECC' ---> s = pi.r.g ---> s = pi.2.(10/3) ---> s = 20.pi/3
Área lateral de EBB' ---> S = pi.R.G ---> S = pi.5.(25/3) ---> S = 125.pi/3

Área lateral do tronco de cone (furado) ---> Sl = S - s ---> Sl = 125.pi/3 - 20.pi/3 ---> Sl = 35.pi

Áreas da base do tronco (furado) ---> Sb = pi.R² - pi.r² ---> Sb = pi.5² - pi.2² ---> Sb = 21.pi

Área do furo cilíndrico ACC'A' ---> Sf = 2.pi.r.h ---> Sf = 2.pi.2.4 ---> Sf = 16.pi

Área total do tronco de cone (furado) = Sl + Sb + Sf = 35.pi + 21.pi + 16.pi = 72.pi


Gabarito errado. Sua solução está correta

Agradeço, a resolução, mas então a minha visão espacial é que foi falha. Para mim a figura que imagino é um tronco de cone, o qual o meio dele é vazado por um cilindro. Tanto que, na alternativa b da questão pede-se o volume da figura, e essa eu acertei. O meu raciocínio foi: Vf = VT - Vcil. A resposta é 36pi cm^3.

LBello

Sua visão está corretíssima. Completei minha solução (em vermelho) chegando na sua solução.

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