FGV Função Quadrática Triângulos,Retângulos

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FGV Função Quadrática Triângulos,Retângulos

Mensagem por ismael1008,3 em Seg Dez 12 2016, 19:45

30.180-(FGV) Um vidraceiro tem um pedaço de espelho, na forma de um triângulo retângulo, cujos lados medem 60cm, 80cm e 1m, e quer recortar um espelho retangular cujo tamanho seja o maior possível. Para ganhar tempo, ele quer que dois lados do retângulo estejam sobre os lados dos triângulos. Determine as medidas dos lados do retângulo e a sua área.

Gabarito: 30 cm e 40 cm e 1200cm^2

Alguém pode resolver com um desenho ilustrando se possível, obrigado e desculpe o incômodo!
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Re: FGV Função Quadrática Triângulos,Retângulos

Mensagem por Pietro Tavares em Seg Dez 12 2016, 20:06

Não tenho como fazer o desenho agora, mas a ideia é:

Admita que a altura meça 60cm, por exemplo, e o retângulo tenha dimensões x e y.
A área do triângulo será: (60 - x)(80 - y).

Agora, você vai precisar usar semelhança de triângulos (creio eu), para escrever y em função de x.
Quando você conseguir o y em função de x, você substitui na equação da área do triângulo, vai virar uma do 2º grau. Aí basta achar o valor máximo da função, vulgo Y do vértice.

Talvez exista uma saída mais inteligente, mas to sem papel por perto para tentar..


Abraço!
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Re: FGV Função Quadrática Triângulos,Retângulos

Mensagem por Pietro Tavares em Seg Dez 12 2016, 20:11

Semelhança do triângulo pequeno (em cima) pelo triângulo do problema:

\frac{60}{60 - x} = \frac{80}{80 - y}
480 - 60y = 480 - 80x
60y = 80x
y = \frac{4}{3}x

Resolve a do 2º Grau e vê se bate com o gabarito Smile
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Re: FGV Função Quadrática Triângulos,Retângulos

Mensagem por Elcioschin em Seg Dez 12 2016, 20:40

...C
...|
...|
...|__________ P
P"|.................|
...|.................|
...|__________|___________
...A ................P'.................B

Trace a hipotenusa BPC

AC = 60 ---> AB = 80

AP' = PP" = x ---> BP' = 80 - x
AP" = PP' = y ---> CP" = 60 - y

CP"/PP" = AC/AB ---> (60 - y)/x = 60/80  ---> y = 60 - 3.x/4 

S = x.y ---> S = x.(60 - 3.x/4) ---> S = - (3/4).x² + 60.x 

xV = - b/2.a ---> xV = - (-60)/2.(-3/4) ---> xV = 40 ---> yV = 30
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Re: FGV Função Quadrática Triângulos,Retângulos

Mensagem por ismael1008,3 em Qua Dez 14 2016, 15:14

Yv não seria 1200 uma vez que é a área máxima e o deveria fazer tipo xv = 40 .p'' = 1200 (Yv) pq o meu Yv tá dando 1200 e não 30!
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Re: FGV Função Quadrática Triângulos,Retângulos

Mensagem por Elcioschin em Qua Dez 14 2016, 16:21

Não. Nesta questão xV é o lado horizontal do retângulo: xV = 40

yV não é o valor da área do retângulo:

yV é o lado vertical do retângulo ---> 40.yV = 1200 ---> yV = 30
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