Circulo Inscrito

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Circulo Inscrito

Mensagem por EsdrasCFOPM em Qua Nov 23 2016, 13:07

[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]

Na figura, um círculo C de centro no ponto Q está inscrito em um quarto de círculo de raio OP, medindo 6cm. Então, o diâmetro de C mede, em cm,

A) 6(√2− 1)
B) 6(2 −√2) 
C) 5√2 − 3 
D) 4√2 − 1 
E) 12(√2 − 1)

*Só preciso de uma luz para saber por onde começar.

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Re: Circulo Inscrito

Mensagem por ivomilton em Qua Nov 23 2016, 16:10

EsdrasCFOPM escreveu:[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]

Na figura, um círculo C de centro no ponto Q está inscrito em um quarto de círculo de raio OP, medindo 6cm. Então, o diâmetro de C mede, em cm,

A) 6(√2− 1)
B) 6(2 −√2) 
C) 5√2 − 3 
D) 4√2 − 1 
E) 12(√2 − 1)

*Só preciso de uma luz para saber por onde começar.
Boa tarde, Esdras.

Ligue O a Q e prolongue até encontrar a circunferência.
Do ponto Q, baixe uma perpendicular a OP e identifique pela letra R seu encontro com OP.
Você obterá OR = QR = raio do círculo inscrito.
Já dá para você continuar?




Um abraço.

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Re: Circulo Inscrito

Mensagem por poisedom em Qua Nov 23 2016, 16:13

Observe que o quadrado formado pelos pontos de tangencia do círculo C com o quarto de círculo e os pontos O e Q tem diagonal igual a

d=\sqrt{2}R

então

6=\sqrt{2}R+R

6=R(\sqrt{2}+1)

R=\dfrac{6}{\sqrt{2}+1}

agora racionalizando

R=\dfrac{6}{\sqrt{2}+1}\cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}

então o Raio é

R=\dfrac{6}{\sqrt{2}+1}


R=\dfrac{6\cdot(\sqrt{2}-1)}{1}

R=6\cdot(\sqrt{2}-1)

como o diâmetro é 2R temos

D=12\cdot(\sqrt{2}-1)

Resposta letra E

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Re: Circulo Inscrito

Mensagem por Elcioschin em Qua Nov 23 2016, 16:14

Seja S o ponto superior do arco PS
Sejam L, M, N os pontos de tangência com OS, OP e arco PNQ

QL = QM = QN = OL = OM = r

OQ² = QL² + QM² ---> OQ² = r² + r² ---> OQ = r.√2 

ON = OQ + QN ---> R = r.√2 + r ---> 6 = r.√2 + r ---> r.(√2 + 1) = 6 ---> r = 6.(√2 - 1)

d = 2.r ---> d = 12.(√2 - 1)

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Re: Circulo Inscrito

Mensagem por EsdrasCFOPM em Qua Nov 23 2016, 17:13

Senhores, muito obrigado!

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