FPP - Tetraedro Dual
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FPP - Tetraedro Dual
(Faculdade Pequeno Príncipe 2017)
15. Dado um tetraedro regular T1 cuja a aresta mede 6 cm, qual é o volume do tetraedro conjugado T2 cujos vértices são centros das faces do tetraedro T1?
a) 18 √3
b) √6/4
c) 3 √3/4
d) √2/12
e) 2 √2/3
Obs.: o gabarito no site é E, mas só consegui achar C até agora
15. Dado um tetraedro regular T1 cuja a aresta mede 6 cm, qual é o volume do tetraedro conjugado T2 cujos vértices são centros das faces do tetraedro T1?
a) 18 √3
b) √6/4
c) 3 √3/4
d) √2/12
e) 2 √2/3
Obs.: o gabarito no site é E, mas só consegui achar C até agora
Japagridoce- Iniciante
- Mensagens : 15
Data de inscrição : 15/01/2016
Idade : 24
Localização : Londrina, PR
Re: FPP - Tetraedro Dual
Desenhe um tetraedro com base horizontal ABC e vértice superior V. Sejam:
M, N = pontos médios de AB e BC respectivamente
O, P = baricentros das faces ABC eABV
MV = AV.cos30º ---> MV = 6.(√3/2) ---> MV = 3.√3 ---> MP = √3 ---> VP = 2.√3
De modo similar ---> MO = √3 ---> CO = 2.√3
No triângulo retângulo VOM ---> cosO^MV = MO/MV ---> cosO^MV = √3/3.√3 ---> cosO^MV = 1/3
Lei dos cossenos em OMP ---> OP² = MO² + OP² - 2.OM.OP.cosO^MV --->
OP² = (√3)² + (√3)² - 2.√3.√3.(1/3) ---> OP² = 4 ---> OP = 2
OP é a aresta do tetraedro T2 com vértices no baricentro. Basta agora calcular o seu volume.
M, N = pontos médios de AB e BC respectivamente
O, P = baricentros das faces ABC eABV
MV = AV.cos30º ---> MV = 6.(√3/2) ---> MV = 3.√3 ---> MP = √3 ---> VP = 2.√3
De modo similar ---> MO = √3 ---> CO = 2.√3
No triângulo retângulo VOM ---> cosO^MV = MO/MV ---> cosO^MV = √3/3.√3 ---> cosO^MV = 1/3
Lei dos cossenos em OMP ---> OP² = MO² + OP² - 2.OM.OP.cosO^MV --->
OP² = (√3)² + (√3)² - 2.√3.√3.(1/3) ---> OP² = 4 ---> OP = 2
OP é a aresta do tetraedro T2 com vértices no baricentro. Basta agora calcular o seu volume.
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71438
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: FPP - Tetraedro Dual
Obrigado!!!
Japagridoce- Iniciante
- Mensagens : 15
Data de inscrição : 15/01/2016
Idade : 24
Localização : Londrina, PR
Re: FPP - Tetraedro Dual
Outro modo.
Obs.: o vértice de T2 está no baricentro da face ABC de T1 que fica, no desenho acima, exatamente sob o vértice V.
Obs.: o vértice de T2 está no baricentro da face ABC de T1 que fica, no desenho acima, exatamente sob o vértice V.
Medeiros- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 10368
Data de inscrição : 01/09/2009
Idade : 72
Localização : Santos, SP, BR
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