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FPP - Tetraedro Dual

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Mensagem por Japagridoce Sáb 19 Nov 2016, 00:18

(Faculdade Pequeno Príncipe 2017)
15. Dado um tetraedro regular T1 cuja a aresta mede 6 cm, qual é o volume do tetraedro conjugado T2 cujos vértices são centros das faces do tetraedro T1?

a) 18 √3
b)   √6/4
c)  3 √3/4
d)   √2/12
e)  2 √2/3

Obs.: o gabarito no site é E, mas só consegui achar C até agora  Neutral
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Mensagem por Elcioschin Sáb 19 Nov 2016, 09:33

Desenhe um tetraedro com base horizontal ABC e vértice superior V. Sejam:

M, N = pontos médios de AB e BC respectivamente
O, P = baricentros das faces ABC eABV

MV = AV.cos30º ---> MV = 6.(√3/2) ---> MV = 3.√3 ---> MP = √3 ---> VP = 2.√3

De modo similar ---> MO = √3 ---> CO = 2.√3

No triângulo retângulo VOM ---> cosO^MV = MO/MV ---> cosO^MV = √3/3.√3 ---> cosO^MV = 1/3

Lei dos cossenos em OMP ---> OP² = MO² + OP² - 2.OM.OP.cosO^MV --->

OP² = (√3)² + (√3)² - 2.√3.√3.(1/3) ---> OP² = 4 ---> OP = 2

OP é a aresta do tetraedro T2 com vértices no baricentro. Basta agora calcular o seu volume.
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Mensagem por Japagridoce Sáb 19 Nov 2016, 15:35

Obrigado!!!
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Mensagem por Medeiros Sáb 19 Nov 2016, 20:14

Outro modo.
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Obs.: o vértice de T2 está no baricentro da face ABC de T1 que fica, no desenho acima, exatamente sob o vértice V.
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