Desafio matemático
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Desafio matemático
Alguém saberia resolver este desafio matemático?
(x;y) ∈ N | x²+ x+1995=y²+y
Um abraço.
(x;y) ∈ N | x²+ x+1995=y²+y
Um abraço.
ivomilton- Membro de Honra
- Mensagens : 4994
Data de inscrição : 08/07/2009
Idade : 91
Localização : São Paulo - Capital
Re: Desafio matemático
Hola estimado Ivomilton.
Creio que o seu exemplo não possua solução, veja:
Deve ser assim (x;y) ∈ N | x² + x + 1995 = y² + y
x² + x + 1/4 – 1/4 + 1995 = y² + y + 1/4 – 1/4
(x + 1/2)² – 1/4 + 1995 = (y + 1/2)² – 1/4 (Cancelaremos – 1/4 nos dois lados da igualdade.)
(x + 1/2)² – (y + 1/2)² = – 1995
(x + 1/2 + y + 1/2)(x + 1/2 – y – 1/2) = – 1995
(x + y + 1)(x – y) = 1995
Fatorando 1995 temos: 3*5*7*19.
Agora é testar as possibilidades de produtos, sendo que (x + y + 1) é um número positivo e (x – y) é um número negativo, e resolver os sistemas:
x + y + 1 = 133 e x – y = – 15
x + y = 132 e x – y = – 15
x + y + 1 = 95 e x – y = – 21
x + y = 94 e x – y = – 21
x + y + 1 = 57 e x – y = – 35
x + y = 56 e x – y = – 35
x + y + 1 = 105 e x – y = – 19
x + y = 104 e x – y = – 19
x + y + 1 = 1995 e x – y = – 1
x + y = 1994 e x – y = – 1
Observe que vai dar um par e um ímpar, e tanto x quanto y devem ser naturais, acredito que não há solução natural.
S = { }
Olha um bem parecido com o seu que tem solução:
(x;y) ∈ N | x² + x + 1998 = y² + y
x² + x + 1/4 – 1/4 + 1998 = y² + y + 1/4 – 1/4
(x + 1/2)² – 1/4 + 1998 = (y + 1/2)² – 1/4 (Cancelaremos – 1/4 nos dois lados da igualdade.)
(x + 1/2)² – (y + 1/2)² = – 1998
(x + 1/2 + y + 1/2)(x + 1/2 – y – 1/2) = – 1998
(x + y + 1)(x – y) = 1998
Fatorando 1998 temos: 2*3³*37.
Agora é testar as possibilidades de produtos, sendo que (x + y + 1) é um número positivo e (x – y) é um número negativo, e resolver os sistemas:
x + y + 1 = 54 e x – y = – 37
x + y = 53 e x – y = – 37 (x = 8 e y = 45.)
x + y + 1 = 74 e x – y = – 27
x + y = 73 e x – y = – 27 (x = 23 e y = 50.)
x + y + 1 = 999 e x – y = – 2
x + y = 998 e x – y = – 2 (x = 498 e y = 500.)
x + y + 1 = 333 e x – y = – 6
x + y = 332 e x – y = – 6 (x = 163 e y = 169.)
x + y + 1 = 222 e x – y = – 9
x + y = 221 e x – y = – 9 (x = 106 e y = 115.)
x + y + 1 = 666 e x – y = – 3
x + y = 665 e x – y = – 3 (x = 331 e y = 334.)
x + y + 1 = 111 e x – y = – 18
x + y = 100 e x – y = – 18 (x = 41 e y = 59.)
... (Existe um teorema para calcular as possibilidades, só que esqueci o nome!)
x + y + 1 = 1998 e x – y = – 1
x + y = 1997 e x – y = – 1 (x = 998 e y = 999.)
S = {(8; 45), (23; 50), (106; 115), (163; 169), (498; 500), ..., (998; 999)}
Créditos a CEP.
Creio que o seu exemplo não possua solução, veja:
Deve ser assim (x;y) ∈ N | x² + x + 1995 = y² + y
x² + x + 1/4 – 1/4 + 1995 = y² + y + 1/4 – 1/4
(x + 1/2)² – 1/4 + 1995 = (y + 1/2)² – 1/4 (Cancelaremos – 1/4 nos dois lados da igualdade.)
(x + 1/2)² – (y + 1/2)² = – 1995
(x + 1/2 + y + 1/2)(x + 1/2 – y – 1/2) = – 1995
(x + y + 1)(x – y) = 1995
Fatorando 1995 temos: 3*5*7*19.
Agora é testar as possibilidades de produtos, sendo que (x + y + 1) é um número positivo e (x – y) é um número negativo, e resolver os sistemas:
x + y + 1 = 133 e x – y = – 15
x + y = 132 e x – y = – 15
x + y + 1 = 95 e x – y = – 21
x + y = 94 e x – y = – 21
x + y + 1 = 57 e x – y = – 35
x + y = 56 e x – y = – 35
x + y + 1 = 105 e x – y = – 19
x + y = 104 e x – y = – 19
x + y + 1 = 1995 e x – y = – 1
x + y = 1994 e x – y = – 1
Observe que vai dar um par e um ímpar, e tanto x quanto y devem ser naturais, acredito que não há solução natural.
S = { }
Olha um bem parecido com o seu que tem solução:
(x;y) ∈ N | x² + x + 1998 = y² + y
x² + x + 1/4 – 1/4 + 1998 = y² + y + 1/4 – 1/4
(x + 1/2)² – 1/4 + 1998 = (y + 1/2)² – 1/4 (Cancelaremos – 1/4 nos dois lados da igualdade.)
(x + 1/2)² – (y + 1/2)² = – 1998
(x + 1/2 + y + 1/2)(x + 1/2 – y – 1/2) = – 1998
(x + y + 1)(x – y) = 1998
Fatorando 1998 temos: 2*3³*37.
Agora é testar as possibilidades de produtos, sendo que (x + y + 1) é um número positivo e (x – y) é um número negativo, e resolver os sistemas:
x + y + 1 = 54 e x – y = – 37
x + y = 53 e x – y = – 37 (x = 8 e y = 45.)
x + y + 1 = 74 e x – y = – 27
x + y = 73 e x – y = – 27 (x = 23 e y = 50.)
x + y + 1 = 999 e x – y = – 2
x + y = 998 e x – y = – 2 (x = 498 e y = 500.)
x + y + 1 = 333 e x – y = – 6
x + y = 332 e x – y = – 6 (x = 163 e y = 169.)
x + y + 1 = 222 e x – y = – 9
x + y = 221 e x – y = – 9 (x = 106 e y = 115.)
x + y + 1 = 666 e x – y = – 3
x + y = 665 e x – y = – 3 (x = 331 e y = 334.)
x + y + 1 = 111 e x – y = – 18
x + y = 100 e x – y = – 18 (x = 41 e y = 59.)
... (Existe um teorema para calcular as possibilidades, só que esqueci o nome!)
x + y + 1 = 1998 e x – y = – 1
x + y = 1997 e x – y = – 1 (x = 998 e y = 999.)
S = {(8; 45), (23; 50), (106; 115), (163; 169), (498; 500), ..., (998; 999)}
Créditos a CEP.
Paulo Testoni- Membro de Honra
- Mensagens : 3408
Data de inscrição : 19/07/2009
Idade : 76
Localização : Blumenau - Santa Catarina
adendo
olá Ivo e Paulo.
como complementação à boa resposta do Paulo, lembro que a eq. dada é de uma hipérbole -- de centro (-¹/², -¹/²) e assíntotas y=x e y=-(x+1). Portanto, a resposta dada contempla metade de um dos ramos. Faltam, ainda, os pares de metade deste ramo e os do outro ramo.
A questão é trabalhosa. Vou completar a resposta apenas indicando o procedimento para:
x² + x - y² - y = -1998
(x+y+1)(x-y) = -1998
1998 = 2*3³*37
o nº de divisores de 1998 é: (1+1)(3+1)(1+1) = 16
logo, são 16 parcelas ou 16/2 = 8 produtos.
1*1998
2*999
3*666
6*333
9*222
18*111
27*74
37*54
Esses 8 produtos irão gerar um total de 32 pares (x,y). Veremos apenas as possibilidades para o primeiro dos oito produtos.
{x+y+1 = 1
{x-y = -1998 ------------> (-999, 999)
{x+y+1 = -1
{x-y = 1998 ------------> (998, -1000)
{x+y+1 = 1998
{x-y = -1 ---------------> (998, 999) <---- somente esta serve ao problema proposto (conj. dos Naturais)
{x+y+1 = -1998
{x-y = 1 ---------------> (-999, -1000)
Portanto, há 32 pares (x,y), do conj. dosNaturais Inteiros, que satisfazem esta eq.
Exemplos de outros pares, além dos já mencionados: (-9, 45) (-24, 50) (-47, 60) (-107, 115) (-164, 169) (-247, 250) (-332, 334) ... (8, -46) (23, -51) (46, -65) ... (-9, -46) (-24, -51) ...
----------------------
já o problema proposto pelo Ivo, não tem solução nos Naturais, conforme já dito pelo Paulo. Isso porque todos os 8 produtos possíveis ocorrem entre nºs ímpares: 1*1995; 3*665; 5*339; 7*285; 15*133; 19*105; 21*95; e 35*37. Ao subtraírmos ou somarmos 1 (em x+y+1=?) a qualquer um deles, ficamos com um nº par; que somado ao nº ímpar do outro multlipicando (em x-y=?), dá ímpar; e, dividindo-o por 2, dá uma fração -- que não mais pertence ao conj. N.
Abs.
como complementação à boa resposta do Paulo, lembro que a eq. dada é de uma hipérbole -- de centro (-¹/², -¹/²) e assíntotas y=x e y=-(x+1). Portanto, a resposta dada contempla metade de um dos ramos. Faltam, ainda, os pares de metade deste ramo e os do outro ramo.
A questão é trabalhosa. Vou completar a resposta apenas indicando o procedimento para:
x² + x - y² - y = -1998
(x+y+1)(x-y) = -1998
1998 = 2*3³*37
o nº de divisores de 1998 é: (1+1)(3+1)(1+1) = 16
logo, são 16 parcelas ou 16/2 = 8 produtos.
1*1998
2*999
3*666
6*333
9*222
18*111
27*74
37*54
Esses 8 produtos irão gerar um total de 32 pares (x,y). Veremos apenas as possibilidades para o primeiro dos oito produtos.
{x+y+1 = 1
{x-y = -1998 ------------> (-999, 999)
{x+y+1 = -1
{x-y = 1998 ------------> (998, -1000)
{x+y+1 = 1998
{x-y = -1 ---------------> (998, 999) <---- somente esta serve ao problema proposto (conj. dos Naturais)
{x+y+1 = -1998
{x-y = 1 ---------------> (-999, -1000)
Portanto, há 32 pares (x,y), do conj. dos
Exemplos de outros pares, além dos já mencionados: (-9, 45) (-24, 50) (-47, 60) (-107, 115) (-164, 169) (-247, 250) (-332, 334) ... (8, -46) (23, -51) (46, -65) ... (-9, -46) (-24, -51) ...
----------------------
já o problema proposto pelo Ivo, não tem solução nos Naturais, conforme já dito pelo Paulo. Isso porque todos os 8 produtos possíveis ocorrem entre nºs ímpares: 1*1995; 3*665; 5*339; 7*285; 15*133; 19*105; 21*95; e 35*37. Ao subtraírmos ou somarmos 1 (em x+y+1=?) a qualquer um deles, ficamos com um nº par; que somado ao nº ímpar do outro multlipicando (em x-y=?), dá ímpar; e, dividindo-o por 2, dá uma fração -- que não mais pertence ao conj. N.
Abs.
Medeiros- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 10368
Data de inscrição : 01/09/2009
Idade : 72
Localização : Santos, SP, BR
explicação
Paulo, Ivo e demais colegas,
desculpem-me porque na resposta acima tive em foco, todo o tempo, o conj. dos Inteiros, quando a questão queria tão somente os Naturais (foi arrogância minha achar que a resposta do Paulo precisava de algum complemento). Já editei em vermelho para remendar.
desculpem-me porque na resposta acima tive em foco, todo o tempo, o conj. dos Inteiros, quando a questão queria tão somente os Naturais (foi arrogância minha achar que a resposta do Paulo precisava de algum complemento). Já editei em vermelho para remendar.
Medeiros- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 10368
Data de inscrição : 01/09/2009
Idade : 72
Localização : Santos, SP, BR
Re: Desafio matemático
Hola Medeiros.
Vc não deve se desculpar até porque a sua explanação demostra o seu conhecimento no assunto. Sua colaboração só enaltece o nosso fórum. A argumentação que dei não é de minha autoria e sim do CEP.
Vc não deve se desculpar até porque a sua explanação demostra o seu conhecimento no assunto. Sua colaboração só enaltece o nosso fórum. A argumentação que dei não é de minha autoria e sim do CEP.
Paulo Testoni- Membro de Honra
- Mensagens : 3408
Data de inscrição : 19/07/2009
Idade : 76
Localização : Blumenau - Santa Catarina
Re: Desafio matemático
ivomilton escreveu:Alguém saberia resolver este desafio matemático?
(x;y) ∈ N | x²+ x+1995=y²+y
Um abraço.
Boa tarde, Paulo e Medeiros!
Demorei alguns das para entrar, porque tivemos que viajar até a casa de nossa filha caçula, em Taubaté, onde nos encontramos. Assim, no momento estou usando o computador do escritório dela.
Li e apreciei muito suas respostas e demais postagens.
Venho agora agradecer a ambos pelas soluções postadas e também colocar o que tenho analisado e resolvido a respeito:
(x² + x) - (y² + y) = 1995
x² - y² + x - y = 1995
(x+y)(x-y) + (x-y) = 1995
(x-y)(x+y+1) = 1995 ....... (I)
1995 = 3.5.7.19 → como todos os fatores primos são ímpares, todos os divisores possíveis de serem formados serão inevitavelmente ímpares
Observemos agora qual a paridade da soma e da diferença entre os fatores de (I):
Soma:
x - y
x + y + 1
---------
2x + 1 → ímpar
Diferença:
-x + y
x + y + 1
---------
2y + 1 → ímpar
Como todos os divisores de 1995 têm paridade ímpar, a soma ou a diferença entre quaisquer dois deles será sempre par.
Devido a essa inconsistência, podemos afirmar que o problema proposto não tme solução, ou que sua solução é { } = conjunto vazio!
Se agora mudarmos o segundo termo da equação original, de 1995 para 1998, então encontraremos 8 soluções dentro do universo dos números naturais.
1998 = 2.3³.37 → (=1+1)(3+1)(1+1) = 2.4.2 = 16 divisores
Divisores = 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 37, 54, 74, 111, 222, 333, 666, 999 e 1998.
Formando os pares que reproduzem 1998:
1.1998 → soma: 2x+1 = 1999 → x = 1998/2 = 999; difeença: 2y+1 = 1997 → y = 1996/2 = 998
2._999 → soma: 2x+1 = 1001 → x = 1000/x = 500, diferença: 2y+1 = _997 → y = _996/2 = 498
3._666 → soma: 2x+1 = _669 → x = _668/2 = 334; diferença: 2y+1 = _663 → y = _662/1 = 331
6._333 → soma: 2x+1 = _339 → x = _338/2 = 169; diferença: 2y+1 = _327 → y = _326/2 = 163
9._222 → soma: 2x+1 = _231 → x = _230/2 = 115; diferença: 2y+1 = _213 → y = _212/2 = 106
18.111 → soma: 2x+1 = _129 → x = _128/2 = _64; diferença: 2y+1 = __93 → y = __92/2 = _46
27._74 → soma: 2x+1 = _101 → x = _100/2 = _50; diferença: 2y+1 = __47 → y = __46/2 = _23
37._54 → soma: 2x+1 = __91 → x = __90/2 = _45; diferença: 2y+1 = __17 → y = __16/2 = __8
S = { (999,998) ; (500,498) ; (334,331) ; (169,163) ; (115,106) ; (64,46) ; (50,23) ; (45,8 ) }
Um forte abraço para vocês!
ivomilton- Membro de Honra
- Mensagens : 4994
Data de inscrição : 08/07/2009
Idade : 91
Localização : São Paulo - Capital
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