Verdadeiro ou falso - (justifique)

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Mensagem por Bruno Barreto em 11/3/2011, 11:27 pm

VERDADEIRO OU FALSO. Justifique sua resposta.

( ) Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem .Então
( ) Seja uma matriz invertível, então .
( ) Sejam A e B matrizes reais de ordem 7, tais que e então det A = 4.
( ) Se A e B so matrizes quadradas tais que o produto AB invertvel, ento A e B são
necessariamente invertiveis.
( )Se A matriz quadrada, então uma matriz simetrica é anti-simtrica.
( ) Se A e B são matrizes simétricas de mesma ordem, então o produto AB também é uma matriz simétrica;
( ) Existe sistema linear homogêneo impossível;

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Mensagem por Diogo em 12/3/2011, 12:58 pm

1) Falso.
Tendo em vista a propriedade da distributiva, temos:



Só seria verdadeira, caso A e B fosseim comutativas, ou seja, A.B = B.A.

2) Verdadeiro.
Pode-se provar pelo princípio da indução matemática:

i) Para t=1, é válida.

ii) Supondo t = k, por hipótese teremos:



iii) Tese: Devemos provar que a propriedade é válida para t=k+1, ou seja:



Multiplicando a hipótese por , à direita:



3) Está digitado errado (tem dois valores para o determinante de A). Irei supor que o problema esteja pedindo o determinante de B.



Aplicando determinante em ambos os lados e depois o teorema de Binet, temos:



4) Verdadeiro.
Sendo A.B invertível e aplicando o teorema de Binet, obtemos o seguinte:



Então, A e B são invertíveis.

5) Verdadeiro.
Primeira parte:
Sendo , é preciso provar que .



Segunda parte:
Sendo , deve-se provar que



6) Verdadeiro.
Se , e
sendo que quando i é diferente de j, temos

Então:



Percebe-se que quando i é diferente de j para C, os elementos dessa matriz também serão zeros, pois serão zeros também.

Tentei provar essa, mas se pegar exemplo dá pra perceber.

7) Falso.
Seguindo a regra de Cramer, teremos para uma incógnita qualquer (por exemplo, x):



sendo que D é o deteminante da matriz principal.
Então se o sistema será possível e indeterminado.
Se o sistema será possível e determinado, sendo que a solução será trivial.

Dessa forma, não existe sistema linear homogêneo impossível.

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Mensagem por Bruno Barreto em 12/3/2011, 1:57 pm

Diogo ,muito obrigado foi precisas as explicações.

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