Pirâmide
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Pirâmide
Determine o volume de uma pirâmide triangular regular em função de sua altura h e do ângulo diédrico θ entre as faces laterais.
- Spoiler:
- Encontrei [3h³(1-2cosθ)√3]/(2+2cosθ), porém não estou seguro da resposta.
Ashitaka- Monitor
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Re: Pirâmide
Ashitaka
entendo pirâmide triangular regular como um tetraedro. E entendo que, no tetraedro, θ (ângulo diédrico entre faces) é invariável. Todos os tetraedros são semelhantes e o que varia é apenas a altura, a depender da aresta (ou tamanho) do sólido. Então o volume deve ficar somente em função da altura.
Na observação, abaixo da linha horizontal, considerei a fórmula em que chegaste. Não faço ideia de como você conseguiu por o ângulo na fórmula mas, admiravelmente tudo "se encaixa" exceto por aquele escalar "3" logo do início (indiquei com seta vermelha), então não devemos ter caminhado muito distantes.
entendo pirâmide triangular regular como um tetraedro. E entendo que, no tetraedro, θ (ângulo diédrico entre faces) é invariável. Todos os tetraedros são semelhantes e o que varia é apenas a altura, a depender da aresta (ou tamanho) do sólido. Então o volume deve ficar somente em função da altura.
Na observação, abaixo da linha horizontal, considerei a fórmula em que chegaste. Não faço ideia de como você conseguiu por o ângulo na fórmula mas, admiravelmente tudo "se encaixa" exceto por aquele escalar "3" logo do início (indiquei com seta vermelha), então não devemos ter caminhado muito distantes.
Medeiros- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 10368
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Re: Pirâmide
Medeiros,
a definição de pirâmide regular é que esta é aquela cuja base é um polígono regular e cuja projeção do vértice sobre a base coincide com o centro desta. O tetraedro é um caso particular no qual, além da base, as faces laterais também são equiláteros.
O que eu fiz foi o seguinte:
Do triângulo de lados vermelhos, isósceles, a = 2bsen(θ/2) (I).
Como a distância de um vértice da base ao pé da altura é a/√3, achamos a aresta lateral como √[h² + (a/√3)²] = √[3h² + a²)/3] (II).
Isolando a face frontal da pirâmide, temos um triângulo isósceles de lados iguais iguais a (II). Neste triângulo, encontramos a altura relativa à base a (ou seja, apótema): √[(II)² - (a/2)²] = √[(12h² + a²)/12] = (III).
Como a área dele é constante, eu fiz a*(III) = b*(II), já que b é altura relativa ao lado que não é a base. Daí, nessa equação, substituindo (I) no meio do caminho, cheguei naquela relação que postei. Infelizmente, procurei erros e não consegui achar de forma que aquele 3 saísse da equação, já que deve sair, pois, se vale para qualquer pirâmide, tem que valer para o tetraedro...
a definição de pirâmide regular é que esta é aquela cuja base é um polígono regular e cuja projeção do vértice sobre a base coincide com o centro desta. O tetraedro é um caso particular no qual, além da base, as faces laterais também são equiláteros.
O que eu fiz foi o seguinte:
Do triângulo de lados vermelhos, isósceles, a = 2bsen(θ/2) (I).
Como a distância de um vértice da base ao pé da altura é a/√3, achamos a aresta lateral como √[h² + (a/√3)²] = √[3h² + a²)/3] (II).
Isolando a face frontal da pirâmide, temos um triângulo isósceles de lados iguais iguais a (II). Neste triângulo, encontramos a altura relativa à base a (ou seja, apótema): √[(II)² - (a/2)²] = √[(12h² + a²)/12] = (III).
Como a área dele é constante, eu fiz a*(III) = b*(II), já que b é altura relativa ao lado que não é a base. Daí, nessa equação, substituindo (I) no meio do caminho, cheguei naquela relação que postei. Infelizmente, procurei erros e não consegui achar de forma que aquele 3 saísse da equação, já que deve sair, pois, se vale para qualquer pirâmide, tem que valer para o tetraedro...
Ashitaka- Monitor
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Re: Pirâmide
Ah tá!!! Sempre me atrapalho com as definições, Ashitaka.
Então é uma pirâmide triangular reta, com base triângulo equilátero e altura variável -- agora entendi. E o erro em não entender antes foi todo meu.
Durante o dia é corrido, depois vejo as contas para este caso.
Então é uma pirâmide triangular reta, com base triângulo equilátero e altura variável -- agora entendi. E o erro em não entender antes foi todo meu.
Durante o dia é corrido, depois vejo as contas para este caso.
Medeiros- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 10368
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Re: Pirâmide
Tranquilo, fico no aguardo. Obrigado, e bom dia!
Ashitaka- Monitor
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Re: Pirâmide
Ashitaka
Tenho pensado (pensado, não rabiscado) e ainda não estou pronto para uma opinião final. De imediato posso adiantar que ainda não vi lógica na requisição.
Mas uma coisa me intriga: essa é uma questão que você gerou ou a obteve de algum lugar?
Tenho pensado (pensado, não rabiscado) e ainda não estou pronto para uma opinião final. De imediato posso adiantar que ainda não vi lógica na requisição.
Mas uma coisa me intriga: essa é uma questão que você gerou ou a obteve de algum lugar?
Medeiros- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 10368
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Re: Pirâmide
Bom dia, Medeiros!
Trago boas novas. Eu refiz o problema com calma e sem pular passagens. De fato, aquele 3 sumiu! Então, agora o resultado geral bate para o tetraedro e me leva a crer que está tudo certo. O caminho que segui foi exatamente o mesmo que descrevi na outra mensagem e obtive [h³(1-2cosθ)√3]/(2+2cosθ). Era algum erro de conta que lendo e relendo não consegui detectar no rascunho original (o qual já joguei no lixo).
Agora vamos a sua mensagem: em que você não viu lógica na requisição? Pra mim sempre pareceu ter sentido. Imagine uma reta que contém a altura de um tetraedro. Agora imagine que esse vértice pode se deslocar em cima dessa reta. O ângulo face/face variará, e o problema pede-se que determine o volume da pirâmide em função desse ângulo e de h.
Essa questão está em uma lista minha de pirâmides. Não está escrito ao lado dela qual é sua origem, mas como ela está no meio de outras questões do IFT MOSCOU (instituto físico técnico de Moscou), acredito que seja de lá também.
Eu não tenho o gabarito das outras duas também, e não queria encher o fórum com essas questões (até porque quando dificulta, sobram poucos que aparecem pra responder, como você), mas vou deixar aqui para caso você decida tentar e aí já comparamos as respostas (se estiver interessado, diga, daí posto a minha):
1) Uma pirâmide triangular é seccionada por um plano que passa por um de seus vértices da base e pelos pontos médios das arestas laterais. Achar a relação entre a superfície lateral e a área da base, sabendo-se que o plano secante é perpendicular a face lateral.
2) Achar o ângulo diédrico entre as faces laterais de uma pirâmide regular triangular, se o ângulo formado por uma das faces laterais e a base é igual a α.
Trago boas novas. Eu refiz o problema com calma e sem pular passagens. De fato, aquele 3 sumiu! Então, agora o resultado geral bate para o tetraedro e me leva a crer que está tudo certo. O caminho que segui foi exatamente o mesmo que descrevi na outra mensagem e obtive [h³(1-2cosθ)√3]/(2+2cosθ). Era algum erro de conta que lendo e relendo não consegui detectar no rascunho original (o qual já joguei no lixo).
Agora vamos a sua mensagem: em que você não viu lógica na requisição? Pra mim sempre pareceu ter sentido. Imagine uma reta que contém a altura de um tetraedro. Agora imagine que esse vértice pode se deslocar em cima dessa reta. O ângulo face/face variará, e o problema pede-se que determine o volume da pirâmide em função desse ângulo e de h.
Essa questão está em uma lista minha de pirâmides. Não está escrito ao lado dela qual é sua origem, mas como ela está no meio de outras questões do IFT MOSCOU (instituto físico técnico de Moscou), acredito que seja de lá também.
Eu não tenho o gabarito das outras duas também, e não queria encher o fórum com essas questões (até porque quando dificulta, sobram poucos que aparecem pra responder, como você), mas vou deixar aqui para caso você decida tentar e aí já comparamos as respostas (se estiver interessado, diga, daí posto a minha):
1) Uma pirâmide triangular é seccionada por um plano que passa por um de seus vértices da base e pelos pontos médios das arestas laterais. Achar a relação entre a superfície lateral e a área da base, sabendo-se que o plano secante é perpendicular a face lateral.
2) Achar o ângulo diédrico entre as faces laterais de uma pirâmide regular triangular, se o ângulo formado por uma das faces laterais e a base é igual a α.
Ashitaka- Monitor
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