Tempo de queda
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Tempo de queda
Do alto de uma torre, lança-se uma pedra verticalmente para cima com certa velocidade, e ela atinge o chão após t1 segundos. Lançando do mesmo lugar a mesma pedra com a mesma velocidade, mas verticalmente para baixo, ela demora t2 segundos para chegar ao chão. Determine quanto tempo a pedra leva para chegar ao chão se abandonada a partir do repouso dessa torre.
Gabarito:![\sqrt {t_1t_2} seg.](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sqrt {t_1t_2} seg.)
Gabarito:
JoaoGabriel- Monitor
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Data de inscrição : 30/09/2010
Idade : 28
Localização : Rio de Janeiro
Re: Tempo de queda
Olá João,
A questão é relativamente simples, mas as contas não ajudam, se alguém quiser continuar:
Situação 1:
V² = V0² - 2*g*S
0 = V0² - 2gh
2gh = V0²
h = V0²/2g
V = V0 + at'
0 = V0 - gt'
gt' = V0
t' = V0/g
H + h = g(t'')²/2
2H + 2h = g(t'')²
2H + V0²/g = g(t'')²
t'' = raiz(2gH + V0²)/g
t' + t'' = t1
Situação 2:
v² = v0² + 2aS
v² = v0² + 2gH
v = raiz(v0² + 2gH)
V = V0 + at
V = V0 + g(t2)
(raiz(v0² + 2gH) - V0)/g = t2
Lançamento livre:
H = gT²/2
2H/g = T²
t1 + t2 = 2*raiz(2gH + V0²)/g
(t1 + t2)² = 4*(2gH + V0²)/g²
g²(t1 + t2)²/4 - V0² = 2gH
g(t1 + t2)²/4 - V0²/g = 2H
(t1 + t2)²/4 - V0²/g² = T²
...
A questão é relativamente simples, mas as contas não ajudam, se alguém quiser continuar:
Situação 1:
V² = V0² - 2*g*S
0 = V0² - 2gh
2gh = V0²
h = V0²/2g
V = V0 + at'
0 = V0 - gt'
gt' = V0
t' = V0/g
H + h = g(t'')²/2
2H + 2h = g(t'')²
2H + V0²/g = g(t'')²
t'' = raiz(2gH + V0²)/g
t' + t'' = t1
Situação 2:
v² = v0² + 2aS
v² = v0² + 2gH
v = raiz(v0² + 2gH)
V = V0 + at
V = V0 + g(t2)
(raiz(v0² + 2gH) - V0)/g = t2
Lançamento livre:
H = gT²/2
2H/g = T²
t1 + t2 = 2*raiz(2gH + V0²)/g
(t1 + t2)² = 4*(2gH + V0²)/g²
g²(t1 + t2)²/4 - V0² = 2gH
g(t1 + t2)²/4 - V0²/g = 2H
(t1 + t2)²/4 - V0²/g² = T²
...
Re: Tempo de queda
Do alto de uma torre, lança-se uma pedra verticalmente para cima com certa velocidade, e ela atinge o chão após t1 segundos. Lançando do mesmo lugar a mesma pedra com a mesma velocidade, mas verticalmente para baixo, ela demora t2 segundos para chegar ao chão. Determine quanto tempo a pedra leva para chegar ao chão se abandonada a partir do repouso dessa torre.
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1º lançamento:
O tempo t1 consiste no somatório do lançamento vertical para cima mais a queda livre que ocorre, após isso:
- O tempo de subida pode ser calculado, por:
V = vo - gt
V = 0 (altura máxima)
0 = v - gt
t = v/g
tempo total do movimento:
t = 2v/g ( I ) (tempo de subida = tempo de descida)
- A descida pode ser calculada por H = v.t + g.t²/2
Ao terminar o primeiro movimento a pedra vai estar com velocidade igual a v (velocidade inicial = final). Assim
H = v.t + g.t'²/2
Ficando: t1 = t + t' ( II )
2º lançamento
Pode ser calculado por H = v.t + g.t²/2
(observe que o segundo lançamento é igual a 2ª parte do primeiro lançamento, ou seja t' = t2)
Então:
H = v.t + g.t'²/2 (III)
3º Lançamento
É uma queda sem velocidade inicial, podendo ser calculada por:
H = g.t²/2
Vamos isolar esse t (que vou chamar de T), pois é ele que queremos determinar:
T = raiz (2H/g) ( IV )
Substituindo ( III) em ( IV ):
T = raiz (2v.t' + gt'²/g) ( V )
Para eliminar esse 'g' da fórmula, vamos pegar a equação ( II )
t1 = t + t'
substituindo ( I ) em ( II )
Temos:
t1 = 2v/g + t'
t1 - t' = 2v/g
g = 2.v/t1 - t' ( VI )
Substituindo ( VI ) em ( V ), temos: (talvez fique um pouco difícil de entender agora, mas não sei usar latex :[ )
T = raiz [2vt' + (2vt'²/t1 - t')] / [2v /t1 - t']
Agora é só desenvolver:
T = raiz [(t1 - t') (2vt') + 2vt'²] / [2.v]
T = raiz [2vt'.t1 - 2.vt'² + 2vt'²] / [2.v]
T = raiz [2v.t'.t1] / [2.v]
T = raiz t'.t1
Como sabemos que t' = t2
temos:
T = raiz t1.t2
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1º lançamento:
O tempo t1 consiste no somatório do lançamento vertical para cima mais a queda livre que ocorre, após isso:
- O tempo de subida pode ser calculado, por:
V = vo - gt
V = 0 (altura máxima)
0 = v - gt
t = v/g
tempo total do movimento:
t = 2v/g ( I ) (tempo de subida = tempo de descida)
- A descida pode ser calculada por H = v.t + g.t²/2
Ao terminar o primeiro movimento a pedra vai estar com velocidade igual a v (velocidade inicial = final). Assim
H = v.t + g.t'²/2
Ficando: t1 = t + t' ( II )
2º lançamento
Pode ser calculado por H = v.t + g.t²/2
(observe que o segundo lançamento é igual a 2ª parte do primeiro lançamento, ou seja t' = t2)
Então:
H = v.t + g.t'²/2 (III)
3º Lançamento
É uma queda sem velocidade inicial, podendo ser calculada por:
H = g.t²/2
Vamos isolar esse t (que vou chamar de T), pois é ele que queremos determinar:
T = raiz (2H/g) ( IV )
Substituindo ( III) em ( IV ):
T = raiz (2v.t' + gt'²/g) ( V )
Para eliminar esse 'g' da fórmula, vamos pegar a equação ( II )
t1 = t + t'
substituindo ( I ) em ( II )
Temos:
t1 = 2v/g + t'
t1 - t' = 2v/g
g = 2.v/t1 - t' ( VI )
Substituindo ( VI ) em ( V ), temos: (talvez fique um pouco difícil de entender agora, mas não sei usar latex :[ )
T = raiz [2vt' + (2vt'²/t1 - t')] / [2v /t1 - t']
Agora é só desenvolver:
T = raiz [(t1 - t') (2vt') + 2vt'²] / [2.v]
T = raiz [2vt'.t1 - 2.vt'² + 2vt'²] / [2.v]
T = raiz [2v.t'.t1] / [2.v]
T = raiz t'.t1
Como sabemos que t' = t2
temos:
T = raiz t1.t2
Kongo- Elite Jedi
- Mensagens : 916
Data de inscrição : 22/01/2011
Idade : 30
Localização : Juiz de Fora - MG
Re: Tempo de queda
Só uma pergunta:
Você achou H = v.t + g.t'²/2, e T = raiz (2H/g). Substituindo o H você chegou a T = raiz (2v.t' + gt'²/g). O certo não seria T = raiz (2(v.t' + gt'²)/g) ?
Você achou H = v.t + g.t'²/2, e T = raiz (2H/g). Substituindo o H você chegou a T = raiz (2v.t' + gt'²/g). O certo não seria T = raiz (2(v.t' + gt'²)/g) ?
JoaoGabriel- Monitor
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Data de inscrição : 30/09/2010
Idade : 28
Localização : Rio de Janeiro
Re: Tempo de queda
Bom, observe:
T = raiz 2.H/g ( I )
H = v.t' + g.t'²/2
Fazendo o mínimo multiplo comum, temos:
2H = 2.vt' + g.t'² ( II )
Assim, posso substituir integralmente a equação ( II ) na ( I ), sem fazer multiplicações etc. Assim:
T = raiz [2.vt' + g.t'²] / g
T = raiz 2.H/g ( I )
H = v.t' + g.t'²/2
Fazendo o mínimo multiplo comum, temos:
2H = 2.vt' + g.t'² ( II )
Assim, posso substituir integralmente a equação ( II ) na ( I ), sem fazer multiplicações etc. Assim:
T = raiz [2.vt' + g.t'²] / g
Kongo- Elite Jedi
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