a altura do trapézio

Ver o tópico anterior Ver o tópico seguinte Ir em baixo

a altura do trapézio

Mensagem por Medeiros em Dom Ago 28 2016, 16:21

Um trapézio retângulo tem diagonais de medidas 9 e 12, e a distância entre o cruzamento das diagonais e o lado vertical do trapézio mede 3. Qual é a altura deste trapézio?

Sem gabarito, ainda estou tentando uma resposta exata.


Última edição por Medeiros em Qui Set 01 2016, 03:34, editado 1 vez(es) (Razão : acrescentado a palavra em negrito, atendendo objeções do Ashitaka.)

Medeiros
Grupo
Velhos amigos do Fórum

Grupo Velhos amigos do Fórum

Mensagens : 5251
Data de inscrição : 01/09/2009
Idade : 64
Localização : Santos, SP, BR

Voltar ao Topo Ir em baixo

Re: a altura do trapézio

Mensagem por Ashitaka em Dom Ago 28 2016, 23:10

Entre o cruzamento das diagonais e qual dos lados?

Ashitaka
Matador
Matador

Mensagens : 3667
Data de inscrição : 12/03/2013
Idade : 19
Localização : São Paulo

Voltar ao Topo Ir em baixo

Re: a altura do trapézio

Mensagem por Medeiros em Seg Ago 29 2016, 00:53

Qualquer um. Você pode escolher. Eu prefiro o lado reto (vertical) ... he he, na verdade a medida até os dois lados é igual -- mas essa dedução fazia parte do exercício!
E obrigado pelo interesse.

Medeiros
Grupo
Velhos amigos do Fórum

Grupo Velhos amigos do Fórum

Mensagens : 5251
Data de inscrição : 01/09/2009
Idade : 64
Localização : Santos, SP, BR

Voltar ao Topo Ir em baixo

Re: a altura do trapézio

Mensagem por Ashitaka em Seg Ago 29 2016, 10:12

Beleza, como eu acho que isso não é intuitivo, vou tentar fazer pra cada um dos casos. Espero que não fique chateado comigo se a solução vier por meios "não ortodoxos" (ou seja, sem usar apenas plana)  hahahahaha
Abraço!

Update: aparentemente, é exigida uma álgebra pesada. Não consegui enxergar nenhuma sacada que facilite os cálculos ou até mesmo permita resolver com poucos deles. Joguei a equação na qual cheguei no wolfram e as raízes exatas são simplesmente incalculáveis de tão grande que são suas expressões e radicais. Muito provavelmente, não há uma solução minimamente agradável nos padrões que procuramos...

Ashitaka
Matador
Matador

Mensagens : 3667
Data de inscrição : 12/03/2013
Idade : 19
Localização : São Paulo

Voltar ao Topo Ir em baixo

Re: a altura do trapézio

Mensagem por Elcioschin em Seg Ago 29 2016, 11:03

Seja QRST o trapézio sendo QR = B = base maior, ST = b = base menor
Seja QT = x o lado vertical (altura do trapézio)
Seja P o ponto de encontro das diagonais e seja PE = 3 a distância de P ao lado QT

QS = 9 ---> RT = 12

QT² = QS² - ST² ---> x² = 9² - b² ---> x² = 81 - b² ---> I
QT² = RT² - QR² ---> x² = 12² - B² ---> x² = 144 - B² ---> II

I = II ---> 81 - b² = 144 - B² ---> B² - b² = 63 ---> (B + b).(B - b) = 63

Existem três possibilidades inteiras para (B, b)---> (63, 1), (21, 3) e (9, 7)

B + b = 63
B - b = 1 ---> B = 32 , b = 31 ---> x² = 81 - b² ---> x² = 81 - 31² ---> Não serve

B + b = 21
B - b = 3 ---> B = 12 , b = 9 ---> x² = 81 - b² ---> x² = 81 - 9² ---> Não serve

B + b = 9
B - b = 7 ---> B = 8 , b = 1 ---> x² = 81 - b² ---> x² = 81 - 7² ---> x = 4.√2


Elcioschin
Grande Mestre
Grande Mestre

Mensagens : 36560
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 70
Localização : Santos/SP

Voltar ao Topo Ir em baixo

Re: a altura do trapézio

Mensagem por Ashitaka em Seg Ago 29 2016, 22:02

Elcioschin, sua solução satisfaz o enunciado quanto às diagonais, mas não vejo nada que garanta que a distância do ponto de encontro delas ao lado seja 3.

Ashitaka
Matador
Matador

Mensagens : 3667
Data de inscrição : 12/03/2013
Idade : 19
Localização : São Paulo

Voltar ao Topo Ir em baixo

Re: a altura do trapézio

Mensagem por Elcioschin em Seg Ago 29 2016, 23:20

Você está certo Ashitaka. A questão é bem mais complicada.

Elcioschin
Grande Mestre
Grande Mestre

Mensagens : 36560
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 70
Localização : Santos/SP

Voltar ao Topo Ir em baixo

Re: a altura do trapézio

Mensagem por Medeiros em Ter Ago 30 2016, 01:40

Obrigado pelo interesse, Élcio.

Você é o Ashitaka estão certíssimos: a questão é bem mais complicada.
Na verdade já tenho uma resposta a qual não me satisfaz; isso porque ela chega numa equação quártica e jogando a tal eq. numa dessas calculadoras obtemos duas raízes reais e a única que serve dá x≈7,8....(se não me falha a memória). O que procuro é uma resposta exata, algo com radicais ou o que for necessário, e também não consegui fatorar a quártica obtendo duas quadráticas.

Mas deve haver um jeito, acredito, é questão de burilar a geometria até achar o caminho adequado -- não me conformo em ficar dependente de uma "álgebra pesada", como disse corretamente o Ashitaka.

Expus a questão aqui porque não estou com muito tempo para me dedicar a ela; e também nada adianta ficar martelando a mente com o foco numa única coisa (este é o caminho para a loucura, he he) -- ou, talvez, tal desafio não seja para o meu bico. Ajuda sempre é bem vinda.

Medeiros
Grupo
Velhos amigos do Fórum

Grupo Velhos amigos do Fórum

Mensagens : 5251
Data de inscrição : 01/09/2009
Idade : 64
Localização : Santos, SP, BR

Voltar ao Topo Ir em baixo

Re: a altura do trapézio

Mensagem por Ashitaka em Ter Ago 30 2016, 09:23

Medeiros, algo com radicais você vai obter, mas não acredito que seja algo que consiga chegar na mão. Não são todos os problemas que admitem uma resposta na qual consigamos chegar "normalmente" e, ainda, não são todas equações que admitem raízes expressas através de radicais (não é esse o caso).

Veja, eu fiz uma abordagem que permitiu uma fácil análise do que acontece em cada caso (considerando que 3 seja a distância a qualquer lado que não seja "o inclinado"):


[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]

Solução do caso 1: link
Solução do caso 2: link
Solução do caso 3: link

O caso 1 é aquele o qual você disse ter mais interesse. A única raiz que satisfaz é, de fato, aproximadamente 7,8. Contudo, seu valor real não é nada amigável. Aqui está um pedaço dela, porque inteira não coube no print:
[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]

O pior é que todos os casos dão raízes desse tipo como resposta. Ou seja, o exercício não foi feito para ter um caso no qual fosse bonito. Outro fato digno de nota: segundo os valores fornecidos como resposta, a solução 7,8 é única. Os casos 2 e 3 não fornecem valores plausíveis para medidas. Daí, ao contrário do que você havia dito, a medida até os outros lados não é igual. Aparentemente, tal trapézio é único e só pode medir 3 se for do ponto até ao lado vertical.

Ashitaka
Matador
Matador

Mensagens : 3667
Data de inscrição : 12/03/2013
Idade : 19
Localização : São Paulo

Voltar ao Topo Ir em baixo

Re: a altura do trapézio

Mensagem por Medeiros em Qua Ago 31 2016, 03:11

"Caraca", Ashitaka, que mostrengo feio! Sinceramente, se um bicho desse pula o muro lá de casa, dou-lhe três tiros de 18, he he he.

Obrigado pelo seu trabalho.

Eu não sabia que podíamos jogar equações nesse tal de wolfram e ele resolvia pra gente (nunca usei). De fato, o link 1 é o único que se aplica. Mas quando pedi a exact form não consegui ver a do "h" em nenhum dos três links, apenas no seu print. De qualquer forma acho que o valor 7,8... é mais ou menos esse que você obteve. Joguei fora meus cálculos anteriores (porque resolvi recomeçar do zero) e não tenho mais a equação de 4° grau para verificar. Também não sei qual calculadora usei (usei uma da internet que o Google retornou) mas ela não tinha opção dessa forma exata que você trouxe.

Realmente esta questão não tem nada de simples ou inocente. Pretendo retomá-la no fim de semana e vou, também, refazer as contas para recuperar a quártica -- quem sabe com ela o wolfram dá uma resposta mais digerível. O que não gostei foi obter como resposta um decimal sem fim (o 7,8...) mas, também, não gostei nada desse dragão de razões e radicais. Mas vou continuar perseguindo uma solução sem tanta álgebra.

Quanto aos seus cálculos, entendi mais ou menos o que você fez no caso 1 mas não entendi os outros dois. Porém vou lhe mostrar que, para qualquer trapézio, o encontro das diagonais é o ponto médio do segmento paralelo às bases.

[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]

Medeiros
Grupo
Velhos amigos do Fórum

Grupo Velhos amigos do Fórum

Mensagens : 5251
Data de inscrição : 01/09/2009
Idade : 64
Localização : Santos, SP, BR

Voltar ao Topo Ir em baixo

Re: a altura do trapézio

Mensagem por Ashitaka em Qua Ago 31 2016, 08:38

Hahahahhahahahaa minha reação foi mais ou menos essa: quero desver essa raiz.

Mas veja, o wolfram é uma ferramente fortíssima e com alta capacidade de resolução. Ele resolve até paramétricas, cálculo integral, det, somatórios, etc. Além de não se restringir à matemática, já que você pode pesquisar qualquer assunto lá. Aqui o "exact form" demorou um pouquinho pra aparecer devido ao tamanho da raiz, mas se você esperar um pouco vai aparecer, sim; só não se a internet estiver ruim.

Quando ao à distância do ponto aos lados ser o mesmo, eu entendi que para esse problema em específico, tanto fazia pegar como valendo 3 a distância de P ao lado de cima, de baixo ou da esquerda (conforme meu desenho).

Vou te explicar o que fiz em cada caso. Com a equação das retas das diagonais, encontrei o x e o y do ponto P.
No caso 1, o x de P é exatamente a distância de P ao lado vertical e, por isso, o igualei a 3.
No caso 2, o y de P é exatamente a distância de P à base maior e, por isso, o igualei a 3.
No caso 3, h - hb/(a+b) = ha/(a+b) é exatamente a distância de P à base menor e, por isso, o igualei a 3.

Dessa forma, abrange-se todos os casos "sensatos" possíveis para a distância 3, já que não foi especificado a qual lado era. Mas perceba, também, que embora u = v na sua demonstração, nesse caso nosso aí não poderíamos afirmar que a distância é a mesma entre o lado vertical e o inclinado porque ela deve ser perpendicular ao lado, mas não o é em relação ao inclinado.

A propósito, essa de não gostar do decimal sem fim foi engraçada hahaha não pude deixar de lembrar dos gregos que não admitiam esse tipo de coisa. Seu próximo passo é encontrar um dicípulo que discorde de você e afogá-lo no mar, daí será o novo Pitágoras, segundo a lenda hahahahahaha Mas de fato, é meio estranho digerir números infinitos para medidas... mas assim levamos.

Ashitaka
Matador
Matador

Mensagens : 3667
Data de inscrição : 12/03/2013
Idade : 19
Localização : São Paulo

Voltar ao Topo Ir em baixo

Re: a altura do trapézio

Mensagem por raimundo pereira em Qua Ago 31 2016, 22:18

oi Medeiros  ,
Não vale me xingar ....he he he  só mais um "parpite" .

[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]

raimundo pereira
Grupo
Velhos amigos do Fórum

Grupo Velhos amigos do Fórum

Mensagens : 5194
Data de inscrição : 13/06/2012
Idade : 75
Localização : São Paulo

Voltar ao Topo Ir em baixo

Re: a altura do trapézio

Mensagem por Medeiros em Qui Set 01 2016, 03:31

Raimundo

Andaste sumido! Estava ansioso pela sua opinião que é sempre bem vinda -- agradeço -- e no fim de semana vou me debruçar sobre ela. Contudo, seu resultado dá 7,84... e já sabemos que a resposta deve ser algo como 7,809... ou 7,81.... (cito de memória e não me comprometo com a casa dos milésimos); portanto essa forma não resolve mas vou aproveitar algumas ideias dela para o enfoque da questão.


Ashitaka

Agora entendi aquelas anotações no canto superior direito do seu manuscrito, você usou analítica. Há que esclarecer o seguinte:
1) embora um quadrilátero possua quatro lados, entendemos um trapézio como tendo duas bases paralelas (maior e menor) e dois lados (um deles podendo ser perpendicular às bases);
2) não fui feliz quanto escrevi "distância" e isso lhe atrapalhou. Realmente você está certo quando mede a distância de ponto à reta na perpendicular. Eu devia, talvez, ter dito "a medida ..." ou, melhor, devia ter especificado o lado vertical -- vou editar o tópico.

Realmente não gosto de decimais sem fim porque eles são incapazes de dar a informação completa, fica sempre faltando alguma coisa. Em geometria, por exemplo, conseguimos construir um segmento que representa exatamente um decimal desses -- note que o segmento tem começo e fim, tem tamanho definido, se lhe forneço um segmento estou lhe dando uma informação completa. Não tenho nada contra os números, quaisquer deles, mas fico insatisfeito com a incompletude, com a imprecisão. Por exemplo, são-me perfeitamente palatáveis os números 1/3 , √2 , π , e (Euler) , etc. mas não gosto das formas 0,333... , 1,414... , 3,141... , 2,718... .

E desconhecia esse assassinato pelo Pitágoras. Mas não é por esse caminho que eu almejaria imitar alguém ilustre, hahahaha.

Medeiros
Grupo
Velhos amigos do Fórum

Grupo Velhos amigos do Fórum

Mensagens : 5251
Data de inscrição : 01/09/2009
Idade : 64
Localização : Santos, SP, BR

Voltar ao Topo Ir em baixo

Ver o tópico anterior Ver o tópico seguinte Voltar ao Topo

- Tópicos similares

 
Permissão deste fórum:
Você não pode responder aos tópicos neste fórum