OBMEP ( N3 1ªF-2008 ) Geometria Plana

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OBMEP ( N3 1ªF-2008 ) Geometria Plana

Mensagem por murilottt em Dom Ago 28 2016, 10:56

Ronaldo quer cercar completamente um terreno retangular de 900 m2. Ao calcular o comprimento da cerca ele se enganou, fez os cálculos como se o terreno fosse quadrado e comprou 2 metros de cerca a menos que o necessário. Qual é a diferença entre o comprimento e a largura do terreno?
 (A) 2 m 
(B) 4 m 
(C) 7 m
 (D) 9 m
 (E) 11 m

Solução:

Pensando que o terreno fosse quadrado, Ronaldo calculou seu lado como √900=30m, e comprou 4 . 30 =120 m de cerca. Mas ele precisaria de 120+2=122m  de cerca, que é o perímetro do terreno. Se a é o comprimento e b a largura do terreno (supomos > b  ), temos as equações 2.(a+b) = 122, que expressa o perímetro, e ab = 900 , que expressa a área. Logo a + b  = 61 e ab = 900 , logo a e b são então raízes de x²- 61x+900=0  As raízes dessa equação são a = 36 e b = 25 , donde a-b = 11. 


Não entendi a parte em negrito: logo a e b são então raízes de x²- 61x+900=0



Que conceito foi ultilizado para montar essa equação de segundo  grau a partir dos dados :" Logo a b + = 61 e ab = 900"  ?


Última edição por murilottt em Dom Ago 28 2016, 16:44, editado 1 vez(es)
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Re: OBMEP ( N3 1ªF-2008 ) Geometria Plana

Mensagem por Medeiros em Dom Ago 28 2016, 12:24

x² - S.x + P = 0
neste caso,
S = 61
P = 900

Ou então, resolve o sistema de duas equações.
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Re: OBMEP ( N3 1ªF-2008 ) Geometria Plana

Mensagem por murilottt em Dom Ago 28 2016, 16:44

ok, obrigado! Very Happy
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Re: OBMEP ( N3 1ªF-2008 ) Geometria Plana

Mensagem por Medeiros em Dom Ago 28 2016, 19:53

Aliás, se prestarmos atenção percebemos que a raiz do discriminante já fornece a distância entre as raízes -- que é o que foi pedido -- e nem precisamos efetivamente calcular estas raízes (lados do retângulo).

xV = -b/(2a) fica bem no meio das raízes que procuramos;
e elas são dadas por
x1 = (-b + √∆)/2a  ------>  x1 = xV + √∆/2a
x2 = (-b - √∆)/2a  ----->  x2 = xV - √∆/2a

Como na eq. deste caso temos a=1 e queremos a diferença entre os lados, ou seja, queremos
|x1 - x2| = √∆/2 + √∆/2 = √∆ = √121 = 11.
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