Área coroa circular

Considere a função real f, definida por f(x)= -2/x   e duas circunferências C1 e C2, centradas na origem. Sabe-se que C1 tangencia o gráfico de f, e que um ponto de abscissa -1/2  pertence a c2 e ao gráfico de f. Nessas condições, a área da coroa circular, definida por C1 e C2, é igual a:
gab:49pi/4

ps: Não consegui achar o raio de C1, alguém poderia dar uma luz?

Desenhe o gráfico de f(x) que passa pelos pontos:

No 4º quadrante: (1/2, -4), (1, -2), (2, -1) e (4, -1/2)

No 2º quadrante: (-1/2, 4), (-1, 2), (-2, 1) e (-4, 1/2)

Note que os dois ramos são simétricos.
Se C1 tangencia f(x) os pontos de tangência estão sobre a reta y = -x

- x = - 2/x ---> x² = 2 ---> x = ± √2

P(√2, -√2) e Q(-√2, √2).

Raio de C1 ---> r² = OP² = (√2 - 0)² + (-√2 - 0)² ---> r² = r ---> r = 2

Equação de C1: x² + y² = 4

Para x = - 1/2 --->f(-1/2) = 4 ---> T(-1/2, 4)

Raio de C2 ---> R² = OT² = (-1/2 - 0)² + (4 - 0)² ---> R² = 65/4

S = pi.(R² - r²) ---> S = pi.(65/4 - 2²) ---> S = 49.pi/4

Élcio, uma pequena complementação.

Partindo de que os dois ramos são simétricos em relação à origem (0, 0), o diâmetro de C1 passa por ela e o raio, naquela condição de simetria, estará sobre a reta y=-x. Indo na eq. de f(x):
f(x) = -2/x  ----->  -x = -2/x  ----->  x = √2  ----->  y = -√2  ----->  P=(√2, -√2)

r1 = d(P, O) = 2

Sabido que  r2 = √65/2

S = pi. (65/4 - 4) = pi. (65 - 16)/4 = 49pi/4

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PS: eu estava apanhando desse exercício. Cheguei a calcular a distância entre um ponto genérico de f(x) e a origem, obtendo uma g(x). Derivei g(x) é igualei a zero (a distância deveria ser mínima) obtendo r1 = √5, o que, evidentemente, não condizia com a realidade. Meu alento foi a noção de simetria que você trouxe.

Tens razão meu caro: o raio é r = 2 (e não 3.√2/2 ~= 2,12 como eu visualizei)
Já editei minha mensagem.

Entendi, obrigado.