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por shady17 Ter 16 Ago 2016, 14:04
No triângulo abaixo, as distâncias do ponto P aos lados AC e BC são respectivamente m e n. Verificar, justificando, se:
CP²=(m²+n²+2mncosC)cossec²C
CP²=(m²+n²+2mncosC)cossec²C
shady17- Jedi
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Re: (IME - 1967)
por Claudir Ter 16 Ago 2016, 17:32
Uma forma:
- Lei dos cossenos:
-2.x.\sqrt{x^2-m^2}.cos\&space;a\to&space;cos\&space;a=\frac{x^2-m^2}{x.\sqrt{x^2-m^2}}\\\\n^2=x^2+(x^2-n^2)-2.x.\sqrt{x^2-n^2}.cos\&space;b\to&space;cos\&space;b=\frac{x^2-n^2}{x.\sqrt{x^2-n^2}} "\\\\m^2=x^2+(x^2-m^2)-2.x.\sqrt{x^2-m^2}.cos\ a\to cos\ a=\frac{x^2-m^2}{x.\sqrt{x^2-m^2}}\\\\n^2=x^2+(x^2-n^2)-2.x.\sqrt{x^2-n^2}.cos\ b\to cos\ b=\frac{x^2-n^2}{x.\sqrt{x^2-n^2}}")
- Mas:
- Além disso:
=cos\&space;a.cos\&space;b-sen\&space;a.sen\&space;b "cos\ \widehat{C}=cos(a+b)=cos\ a.cos\ b-sen\ a.sen\ b")
- Substituindo e rearranjando os termos para isolar x (CP):
(x^2-n^2)}.(x^2.cos\&space;\widehat{C}+nm)=(x^2-m^2)(x^2-n^2)\\\\(x^2.cos\&space;\widehat{C}+nm)^2=(x^2-m^2)(x^2-n^2)\\\\\to&space;x^2=\boxed{CP^2=(2nm.cos\&space;\widehat{C}+n^2+m^2).cossec^2\&space;\widehat{C}} "\\\\cos\ \widehat{C}=\frac{x^2-m^2}{x.\sqrt{x^2-m^2}}.\frac{x^2-n^2}{x.\sqrt{x^2-n^2}}-\frac{m}{x}.\frac{n}{x}\\\\\sqrt{(x^2-m^2)(x^2-n^2)}.(x^2.cos\ \widehat{C}+nm)=(x^2-m^2)(x^2-n^2)\\\\(x^2.cos\ \widehat{C}+nm)^2=(x^2-m^2)(x^2-n^2)\\\\\to x^2=\boxed{CP^2=(2nm.cos\ \widehat{C}+n^2+m^2).cossec^2\ \widehat{C}}")
Logo, a equação enunciada está correta.
- Lei dos cossenos:
- Mas:
- Além disso:
- Substituindo e rearranjando os termos para isolar x (CP):
Logo, a equação enunciada está correta.
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