(Iberoamericana-1985)
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(Iberoamericana-1985)
Seja P um ponto interior do triângulo equilátero ABC tal que: PA=5, PB=7 e PC=8. Encontre o comprimento do lado do triângulo ABC.
- Spoiler:
- √129
shady17- Jedi
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Idade : 32
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Re: (Iberoamericana-1985)
Oi shady 17
Ufa! demorou um pouco mais encontrei. Há 3 anos quando estudei com meu filho para o CN lembro ter visto esse probl. Aí está. Anexei também o link do nosso clg Philipe) hoje também na Marinha. Espero que te ajude. Não sei quem criou a fórmula.
https://pir2.forumeiros.com/t47736-o-lado-do-triangulo
Ufa! demorou um pouco mais encontrei. Há 3 anos quando estudei com meu filho para o CN lembro ter visto esse probl. Aí está. Anexei também o link do nosso clg Philipe) hoje também na Marinha. Espero que te ajude. Não sei quem criou a fórmula.
https://pir2.forumeiros.com/t47736-o-lado-do-triangulo
raimundo pereira- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 6113
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Re: (Iberoamericana-1985)
Obrigado mestre, sensacional.
shady17- Jedi
- Mensagens : 322
Data de inscrição : 23/05/2013
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Re: (Iberoamericana-1985)
Mestre Raimundo, pedi ajuda ao mestre Rufino na questão e o mesmo me explicou de onde veio a fórmula, é o seguinte:
No caso em que P é dentro do triângulo ABC. Seja PA = a1, PB = a2, PC = a3. Gire o triângulo ABC do ponto A em 60 graus tal que mapeiam AB à AC. Denota-se então a imagem de P, após a rotação de Q.
Agora vemos que AP = PQ = AQ = a1 e a2 = PCQ. Pela lei do cosseno no triângulo PCQ nós temos:
só que
.
Agora:
Simplificando achamos a relação:
No caso em que P é dentro do triângulo ABC. Seja PA = a1, PB = a2, PC = a3. Gire o triângulo ABC do ponto A em 60 graus tal que mapeiam AB à AC. Denota-se então a imagem de P, após a rotação de Q.
Agora vemos que AP = PQ = AQ = a1 e a2 = PCQ. Pela lei do cosseno no triângulo PCQ nós temos:
só que
.
Agora:
Simplificando achamos a relação:
shady17- Jedi
- Mensagens : 322
Data de inscrição : 23/05/2013
Idade : 32
Localização : Uberlândia MG
Re: (Iberoamericana-1985)
Eu acompanhei todos os passos de shady17, porém não consegui chegar a equação final: 3(a⁴+b⁴+c⁴+d⁴)=(a²+b²+c²+d²)². Eu já tentei isolar os termos pra um lado e raiz pro outro e elevar ao quadrado, porém fica uma conta enorme sem nenhuma perspectiva de se assemelhar ao que quero provar. Não sei se existe algum outro método de simplificar mais eficaz, gostaria de uma solução para esse problema. Deixo a imagem do desenvolvimento:
Hollo- Iniciante
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Re: (Iberoamericana-1985)
Hollo
nem tento obter essa fórmula porque não iria conseguir decorá-la. Mas resolvi a questão ao meu modo e talvez o caminho que segui sirva de algum modo para você burilar essa fórmula.
resolução
x = lado do triângulo equilátero ABC
com eixo em B rotacione o ∆BPC 60º anti-horário, formando o ∆BP1A
com eixo em C rotacione o ∆CPA 60º anti-horário, formando o ∆CP2B
com eixo em A rotacione o ∆APB 60º anti-horário, formando o ∆AP3C
AˆBC = 60º = b1 + b2 ----> PˆBP1 = 60º , e analogamente os âng.s PĈP2 e PÂP3
No ∆PBP1 temos BP = BP1 = 7 -----> ∆PBP1 = equilátero (LAL) -----> PP1 = 7
Analogamente para os triângulos ∆PCP2 e ∆PAP3
Então no hexágono AP1BP2CP3 temos três triângulos equiláteros (áreas S5, S7, S8) e três triângulos escalenos iguais com lados 5, 7, 8 (área S0). Então se
S = área do triângulo equilátero ABC,
2S = área do hexágono AP1BP2CP3.
portanto
2S = 3.S0 + S5 + S7 + S8
nem tento obter essa fórmula porque não iria conseguir decorá-la. Mas resolvi a questão ao meu modo e talvez o caminho que segui sirva de algum modo para você burilar essa fórmula.
resolução
x = lado do triângulo equilátero ABC
com eixo em B rotacione o ∆BPC 60º anti-horário, formando o ∆BP1A
com eixo em C rotacione o ∆CPA 60º anti-horário, formando o ∆CP2B
com eixo em A rotacione o ∆APB 60º anti-horário, formando o ∆AP3C
AˆBC = 60º = b1 + b2 ----> PˆBP1 = 60º , e analogamente os âng.s PĈP2 e PÂP3
No ∆PBP1 temos BP = BP1 = 7 -----> ∆PBP1 = equilátero (LAL) -----> PP1 = 7
Analogamente para os triângulos ∆PCP2 e ∆PAP3
Então no hexágono AP1BP2CP3 temos três triângulos equiláteros (áreas S5, S7, S8) e três triângulos escalenos iguais com lados 5, 7, 8 (área S0). Então se
S = área do triângulo equilátero ABC,
2S = área do hexágono AP1BP2CP3.
portanto
2S = 3.S0 + S5 + S7 + S8
Medeiros- Grupo
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