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Afirmações envolvendo número complexo

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Mensagem por Adam Zunoeta Qua 23 Fev 2011, 19:47

ITA
Seja z um número complexo. Se:

é um número real, então podemos afirmar:




c)é necessariamente um número real
d)z²=-1
e)n.d.a


Gabarito:
Letras "b"

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Mensagem por Elcioschin Qua 23 Fev 2011, 19:55

z = a + bi

z + 1/z = a + bi + 1/(a + bi)

z + 1/z = a + bi + (a - bi)/(a + bi)*(a - bi)

z + 1/z = a + bi + (a - bi)/(a² + b²)

z + 1/z = [a + a/(a² + b²)] - [b/(a² + b²)]*i

Para ser real ----> - b/(a² + b²) = 0 ----> b = 0 ---> a = real ----> z = a -----> |z| = a

Alternativa C ----> z é real

Só seria alternativa B se a = 1
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Mensagem por DouglasM Qua 23 Fev 2011, 20:18

Elcioschin, houve uma pequena falta de atenção na resolução:

z + 1/z = a + bi + (a - bi)/(a² + b²)

z + 1/z = [ a + a/(a² + b²) ] + [ b - b/(a² + b²) ]*i

Continuando a partir daí, concluiríamos que a letra b está correta.

Até a próxima.
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Mensagem por Adam Zunoeta Qui 24 Fev 2011, 07:44

Vlw Elcioschin e DouglasM.
Um amigo meu fez de outra forma.

Se ele é real então é igual ao seu conjugado.
z*=conjugado
z-z*=1/z*-1/z

z-z*=(z-z*)/(z.z*)

Como z.z*=|z|²

z-z*=(z-z*)/|z|²

|z|²=1 ---> |z|=1 ou Im(z)=0
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Mensagem por vscarv Qui 25 Abr 2019, 17:06

Alguém poderia me explicar o restante da seguinte parte:

z + 1/z = [ a + a/(a² + b²) ] + [ b - b/(a² + b²) ]*i ?
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Mensagem por Elcioschin Sex 26 Abr 2019, 14:12

Basta igualar a parte imaginária a zero:

b - b/(a^2 + b^2) = 0 ---> Complete
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