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Estatística

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Mensagem por bbianca88 Sex 29 Jul 2016, 15:35

UFJF-MG)Um professor fez o levantamento das notas de uma turma composta de 20 alunos. As
notas foram obtidas em uma prova cujo valor era 10 pontos. Veja o gráfico a seguir:
Depois de confeccionado esse gráfico, o professor percebeu ter errado a nota de um dos alunos
e verificou que, feita a correção, a média das notas dessa turma aumentaria em 0,2 ponto e a
moda passaria a ser 7 pontos. A nota que estava errada era:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
O gráfico é o seguinte:

Frequência  notas
1                  3
2                  4
4                  5
4                  6
4                  7
3                  8
2                  9
A resposta é a letra A .

Já vi duas resoluções, só que não consigo entender a finalização do problema!
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Mensagem por rodrigoneves Sex 29 Jul 2016, 16:00

Perceba que, tirando a média aritmética simples de 20 notas, cada uma contribui com 1/20 da média. Por exemplo, você tirou 900 na prova de matemática do ENEM e sua média foi 800. Se você tivesse tirado 950 em matemática, sua média passaria a ser 810, já que cada prova contribui com 1/5 da média.
Portanto, se a correção da nota do aluno aumentaria 0,2 ponto na média da turma, é porque essa correção representa um aumento, na nota dele, de 0,2 x 20 = 4 pontos. 
Ou seja, a modificação a ser feita é: acrescentar 4 pontos em uma das notas.
Com isso, a moda passaria a ser 7. Isso significa que 7 passará a ser o valor de maior frequência; isso só é possível se aumentar a quantidade de notas 7, visto que diminuir a quantidade de notas 5 ou 6 ainda manteria duas modas (7 e 6 ou 7 e 5).
Portanto, vamos acrescentar 4 pontos a uma das notas e aumentará a quantidade de notas 7. Conclui-se que essa nota à qual serão acrescidos 4 pontos passará assim a ser 7, ou seja, ela agora é 3 (3 + 4 = 7).
Resposta: 3.
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Mensagem por rihan Sex 29 Jul 2016, 17:06

A) Definições:

1) Número de elementos do Universo (ou amostra ou espaço amostral) := n

2) Moda := Valor, ou conjunto de valores, que ocorre mais vezes (tem maior frequência)

3) Média ( Aritmética ou Simples )de x := m(x) ≡ Soma dos x / Quantidade dos x

4) Frequência (Absoluta) := nº de ocorrência de um valor ou de elementos num grupo (classe) := F

5) Frequência Relativa := nº de ocorrência de um valor ou de elementos num grupo (classe) dividido pela soma total das frequências:= f ≡ F/∑F = F/n

B) Moda com nota errada: Moda = {5; 6; 7} pois valores ocorrem 4 vezes, a maior frequência. Dita Distribuição Trimodal.

C) Média com nota errada := m

X = { 3; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 9; 9 }

n(X) = n = 20

Podemos somar os x individualmente e contá-los e dividir pela quantidade contada de x ou, mais simples, pela soma das frequências:

m =  ( 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 5 ... + 9 + 9 ) / (1 + 2 + 4 + 4 + 4 +3 + 2)

Ou, mais simples e compacto, agrupar os x, fazendo a soma dos x.F :

m = ∑(x.F) / ∑F = ∑(x.F) / n

m = (3.1 + 4.2 + 5.4 + 6.4 + 7.4 + 8.3 + 9.2 ) / 20

m = 125 / 20 = 6,25


D) Quando percebeu o erro, o prof. tirou uma nota de um certo grupo e colocou em outro, o do 7, pois foi ele que passou a ser a MODA  7 com frequência 5.



E) A média correta, m*, é então:

m* = m + 0,2

m* = 6,25 + 0,20 = 6,45

F) Já que há um aumento de 0,2 na média, a diferença entre as notas trocadas tem que ser 20 . 0,2 =  4

∑(x*) / 20  - ∑(x) / 20 = 0,2

∑(x*)  - ∑(x) = 20 . 0,2 =  4

7 - x = 4

x = 3

Houve a troca do 3 pelo 7

A soma anterior perde 3 e ganha 7, então ganha 4 (125 + 4 = 129) conferindo:

m* = ( 4.2 + 5.4 + 6.4 + 7.5 + 8.3 + 9.2 ) / 20 = 129 / 20 =  6,45


Última edição por rihan em Sex 29 Jul 2016, 19:31, editado 1 vez(es)

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Mensagem por hugo araujo Sex 29 Jul 2016, 19:16

Rodrigo, no seu raciocínio, você pode falar mais um pouco sobre essa relação: aumento da média x número de notas.

''Portanto, se a correção da nota do aluno aumentaria 0,2 ponto na média da turma, é porque essa correção representa um aumento, na nota dele, de 0,2 x 20 = 4 pontos.''
Desde já agradeço.

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Mensagem por rihan Sáb 30 Jul 2016, 12:29

Suponha  que o conjunto das notas corretas fosse:

X = {  2; 4; 4; 6; 6; 6; 6; 8; 8; 10}

Que, resumidamente, também pode ser representado em forma tabular :

 x   F
 2   1
 4   2
 6   4
 8   2
10  1

A média de X é definida por:

m(X) ≡ ∑(X) / n(X)

E pode ser calculada, operacionalmente, por:

m(X) = ∑(x.F) / ∑(F)

Logo,


m(X) = ( 2.1 + 4.2 + 6.4 + 8.2 + 10.1 ) / ( 1 + 2 + 4 + 2 + 1) = 60 / 10

m(X) = 6

A Moda de X é 6, pois ocorre mais vezes, tem a maior Frequência (4).

Se o dito professor lança erradamente, trocando um "6" por um "4" , o que iria acontecer ?

1) A Moda ia ser o subconjunto M = {4; 6} , pois são os valores das notas mais frequentes (3)

2) E a média ?

A soma dos valores ia mudar, pois no lugar de um "6" o professor pôs um "4".

A somatória "perdeu" 6 e "ganhou" 4, prejuízo de 2, ou seja, vai estar diminuída de 2.

Como existem 10 elementos no conjunto, dividimos a soma por 10 para calcular a média, ou, dizendo de outra forma forma, cada ponto de cada nota vale 1/10 = 0,1 na média.

Então, rapidamente, podemos calcular qual o novo valor da média (errada) m*:

m* = m - 2/10

m* = 6 - 0,2

m* = 5,8

rihan
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Mensagem por jota-r Sáb 30 Jul 2016, 16:13

rihan escreveu:A) Definições:

1) Número de elementos do Universo (ou amostra ou espaço amostral) := n

2) Moda := Valor, ou conjunto de valores, que ocorre mais vezes (tem maior frequência)

3) Média ( Aritmética ou Simples )de x := m(x) ≡ Soma dos x / Quantidade dos x

4) Frequência (Absoluta) := nº de ocorrência de um valor ou de elementos num grupo (classe) := F

5) Frequência Relativa := nº de ocorrência de um valor ou de elementos num grupo (classe) dividido pela soma total das frequências:= f ≡ F/∑F = F/n

B) Moda com nota errada: Moda = {5; 6; 7} pois valores ocorrem 4 vezes, a maior frequência. Dita Distribuição Trimodal.

C) Média com nota errada := m

X = { 3; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 9; 9 }

n(X) = n = 20

Podemos somar os x individualmente e contá-los e dividir pela quantidade contada de x ou, mais simples, pela soma das frequências:

m =  ( 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 5 ... + 9 + 9 ) / (1 + 2 + 4 + 4 + 4 +3 + 2)

Ou, mais simples e compacto, agrupar os x, fazendo a soma dos x.F :

m = ∑(x.F) / ∑F = ∑(x.F) / n

m = (3.1 + 4.2 + 5.4 + 6.4 + 7.4 + 8.3 + 9.2 ) / 20

m = 125 / 20 = 6,25


D) Quando percebeu o erro, o prof. tirou uma nota de um certo grupo e colocou em outro, o do 7, pois foi ele que passou a ser a MODA  7 com frequência 5.



E) A média correta, m*, é então:

m* = m + 0,2

m* = 6,25 + 0,20 = 6,45

F) Já que há um aumento de 0,2 na média, a diferença entre as notas trocadas tem que ser 20 . 0,2 =  4

∑(x*) / 20  - ∑(x) / 20 = 0,2

∑(x*)  - ∑(x) = 20 . 0,2 =  4

7 - x = 4

x = 3

Houve a troca do 3 pelo 7

A soma anterior perde 3 e ganha 7, então ganha 4 (125 + 4 = 129) conferindo:

m* = ( 4.2 + 5.4 + 6.4 + 7.5 + 8.3 + 9.2 ) / 20 = 129 / 20 =  6,45

Olá, Rihan.

Bom retorno ao fórum.

Minhas desculpas pelas coisas do passado.

Um abraço.

jota-r
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Mensagem por rihan Dom 31 Jul 2016, 00:23

! cheers !

O Universo é bem mais importante, maior e significativo do que nós dois, meros humanos mortais e passageiros.

A diferença entre ele e nós é muito, muito grande.

Só que nós temos essa consciência...

Mas será que o Universo tem ?

rihan
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