(São Paulo - 1999) Circunferências

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(São Paulo - 1999) Circunferências

Mensagem por shady17 em Seg Jul 25 2016, 14:00

Duas circunferências, de centros P e Q, interceptam-se nos pontos M e N, de modo que MP e MQ sejam perpendiculares. Uma reta tangencia as duas circunferências nos pontos A e B, respectivamente, como mostra a figura a seguir.

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Sabe-se que a distância de M à reta AB é 2, e que o ângulo MPA tem medida igual ao dobro da medida do
ângulo MQP , que é igual α.

a) Mostre que as circunferências têm raios 2/(1-cos2α) e 2/(1-sen2α), respectivamente.
b) Determine o valor de tgα..
c) Calcule a medida de PQ.

* Você pode querer utilizar o fato de que sen2α=2senαcosα e cos2α=cos²α-sen²α


Spoiler:
b)1/2 e c)5√5

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Re: (São Paulo - 1999) Circunferências

Mensagem por Giovana Martins em Ter Jul 26 2016, 10:30

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Letra A:

No ∆FQM:

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No ∆PGM:

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Letra B:

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Letra C:

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Por Pitágoras no ∆PQM:


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OBS: A resolução (resolução) é de autoria de Kainã Terto.
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Re: (São Paulo - 1999) Circunferências

Mensagem por shady17 em Ter Jul 26 2016, 12:00

Obrigado Giovana. Ficou melhor entendido do que a resolução do Kainã.

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Re: (São Paulo - 1999) Circunferências

Mensagem por Giovana Martins em Ter Jul 26 2016, 21:45

De nada!
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